안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 반복적분에서는 실질적으로 다변수 함수의 적분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 지금까지 저희는 직사각형 영역에 대한 이중적분을 해보았습니다. 오늘은 영역을 직사각형에 국한하지 않고 보다 일반적인 영역에서 이중적분을 수행하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 저희의 목표는 위의 왼쪽 그림과 같은 임의의 모양을 가진 영역 $D$ 상에서 이중적분을 하는 것이 목표입니다. 하지만, 기본적으로 저희는 현재 직사각형 영역에 대한 이중적분밖에 하지 못하기 때문에 이를 활용해야합니다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 영역 $D$를 둘러싸는 새로운 직사각형 영역 $R$을 생각해보겠습니다. 그리고 기존의 함수를 $f$라고 했을 때 영역 $D$에서는 값을 그대로 같지만 영역 $D$ ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 교집합, 공집합, "If ... Then"의 의미에서는 교집합의 정의를 시작으로 이로인해 발생되는 모순을 해결하기 위한 공집합의 도입을 순서대로 보았습니다. 하지만, 공집합을 도입하더라도 없어지지 않는 모순을 제거하는 공허참(Vacuously True)에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로 공허참이란 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 가정 $P$가 거짓이면 결론의 참/거짓에 관계없이 전체명제를 참으로 하자라는 것 입니다. 오늘은 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 새로운 명제를 만드는 대우(contraposition), 역(converse), 그리고 부정(Negation)에 대해서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - "or" 의 의미에서는 영어 단어 "or"이 가지는 모호성으로 인해 발생하는 문제가 수학에서도 발생하지 않도록 하기 위해 "or"의 의미를 명확하게 정의하였습니다. 정리하면 임의의 두 명제 $P$와 $Q$에 대해서 $P \text{ or } Q$라는 것은 명제 $P$이거나 명제 $Q$이거나 $P$와 $Q$를 모두(both) 만족하는 것입니다. 그리고 두 집합 $A$와 $B$의 합집합 $A \cup B$의 정의에 대해서도 알아보았습니다. 오늘도 집합론을 본격적으로 공부하기에 앞서 간단한 몇 가지 정의들(교집합, 공집합)을 알아보고 가정-결론으로 구성되는 "If ... Then" 구조문의 의미를 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 교집합(intersection) 임의의 두 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 이중적분에서는 다변수 함수에서 다중적분이 정의되는 원리에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로는 기존의 단변수 함수에서의 적분과 큰 차이는 없이 동일하게 구간을 등구간으로 자르는 것으로 시작하는 것을 알게 되었습니다. 오늘은 이중적분을 실질적으로 어떻게 계산하는 지에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 함수 $f$가 영역 $R = [a, b] \times [c, d] = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} | a \le x \le b, c \le y \le d\}$에서 적분가능하다고 하겠습니다. 저희가 미적분학 - 편미분에서 보았듯이 특정 변수에 대해서 미분을 할 수 있습니다. 이와 유사하게 특정 변수에 대한 적분 역시 가능하죠. 저희는 이를 편적분(partia..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 라그랑주 승수법에서는 제약조건 하에서 함수의 최댓값 및 최솟값을 구하는 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보았습니다. 지금까지는 다변수 함수의 미분과 관련된 내용만 보았습니다. 오늘부터는적분과 관련된 내용을 알아보도록 하죠. 다만, 이제부터는 변수가 여러 개가 있기 때문에 다중적분(Multiple Integral)을 수행하게 됩니다. 전체적으로 단변수 함수의 적분을 이해해야하기 때문에 차근차근 알아보도록 하죠. 1. 단변수 함수의 정적분(Definite Integration of Unit Variable Function) 이 부분에 대한 내용은 미적분학 - 영역 문제와 미적분학 - 적분 정의에서 자세하게 알아보았습니..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 소개에서는 집합론이 수학이라는 학문에서 차지하는 비중이 크다는 것과 몇 가지 중요한 기호($\in, \notin, \subset, \nosubset$)들을 보았습니다. 또한 집합을 표현하는 방법에는 크게 2가지로 원소나열법(tabular form)과 조건제시법(set builder form)으로 나뉜다고 말씀드렸습니다. 위 방법들 중 특히 조건제시법은 수많은 원소를 포함하는 집합을 표현하는 데 있어 필수적인 개념이기 때문에 반드시 알아놓으셔야합니다. 오늘은 약간 논리적인 이야기로 "or"이 수학에서 어떤 의미를 내포하는 지 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 합집합(Union) 임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 합집합은 $A \cup B =..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다변수 함수의 최대최소에서는 다변수 함수가 정의된 정의역 내에서 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다변수 함수와 함께 특별한 제약조건(constraint)이 포함되었을 때 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법인 라그랑주 승수법(Method of Lagrange Multiplier)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 라그랑주 승수법의 기본 개념을 이해하기 위해 위 그림을 함께 설명하도록 하겠습니다. 여기서 $y = f(x, y)$의 다변수 함수가 주어졌다고 가정하겠습니다. 그리고 $f(x, y) = C$로 이어진 분홍선 선 그래프는 함수 $y = f(x, y)$의 등고선을 의미합니다. 이제부터 저희가 원하는 것은 $g(x, y) = ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 기울기벡터에서는 다변수 함수에서 정의되는 기울기벡터에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 정리1에서 방향미분을 기울기벡터를 통해서 구할 수 있다는 것과 정리2에서 방향미분의 최대값은 방향벡터 $\mathbf{u}$와 기울기벡터 $\nabla f$가 동일한 방향을 가르킬 때 임을 알게되었고 이를 통해서 $\left|\nabla f\right|$가 최대값임을 알게 되었습니다. 오늘은 다변수 함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 지역최댓값(local maximum)과 지역최솟값(local minimum) 다변수 함수 $f$가 주어졌을 때 점 $(a, b)$ 근방의 $(x, y)$에 대해서 $f(a, b) \ge f(x, y)$를 ..
