안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 테일러 급수와 맥클로린 급수에서는 테일러 급수와 맥클로린 급수의 정의에 대해서 알아보았습니다. 또한, 간단한 함수인 $f(x) = e^{x}$의 맥클로린 급수 표현도 구해보았습니다. 오늘은 보다 복잡한 형태의 함수들의 테일러 급수 또는 맥클로린 급수를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 삼각함수로 시작해보도록 하겠습니다. 함수 $f(x) = \sin(x)$의 맥클로린 급수를 구해보도록 하죠. 맥클로린 급수의 계수는 아래와 같습니다. $$c_{n} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$ 따라서, $f(x) = \sin(x)$를 여러 번 미분해보아야 합니다. $$\begin{align*} &f^{'}(0) = 1 \\ &f^{''}(x) = 0 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 멱급수 표현에서는 복잡한 형태의 함수를 단순한 다항식의 무한합으로 근사하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 뿐만 아니라 원래는 기하급수 형태로 변환할 수 있는 $\frac{1}{1 - x}$ 꼴만 멱급수로 표현할 수 있었지만 미적분을 통해 더 다양한 함수들도 멱급수로 표현할 수 있게 되었습니다. 오늘은 특별한 형태의 멱급수인 테일러 급수(Taylor Series)와 맥클로린 급수(Maclaurin Series)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 다시 한번 임의의 함수가 멱급수로 표현된다고 가정하고 수렴반경이 $\left|x - a\right| < R$이라고 할 때, 아래와 같이 표현할 수 있습니다. $$f(x) = c_{0} + c_{1}(x - a) + c_..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 멱급수에서는 멱급수(power series)와 수렴반경(radius of convergence)의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 어떤 함수를 멱급수의 형태로 표현하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 일단, 함수를 멱급수로 표현한다는 의미부터 생각해보겠습니다. 예를 들어 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$라는 함수를 생각해보도록 하겠습니다. 이 함수의 경우에는 다르게 표현할 수도 있습니다. 왜냐하면 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ 역시 기하급수의 성질에 의해서 $\left|x\right| < 1$에서는 $\frac{1}{1 - x}$로 표현될 수 있습니다. $$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서는 비판정법(ratio test)와 근판정법(root test)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 멱급수(power series)에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 멱급수(power series) $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots$의 형태를 가진 무한급수를 멱급수라고 한다. 설명 멱급수의 가장 간단한 예시는 모든 $n$에 대해서 $c_{n} = 1$일 때 입니다. 그러면 저희는 아래의 식을 얻을 수 있죠. $$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots$$ 이는 기하급수입니다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴에서는 두 가지 종류의 수렴 종류에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 판정하는 방법에 대해서도 알아보도록 하겠습니다. 각각 비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)입니다. 정리1. 비판정법(ratio test) 무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자. 1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L 1$ 이거나 $\lim_{n \righta..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 교대급수에서는 부호가 번갈아가며 더해지는 교대급수(Alternative Series)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 급수의 수렴에도 종류가 있다는 것을 알려드리도록 하겠습니다. 수렴하는 조건에 따라 각각 절대수렴(Absolute Convergence)와 조건수렴(Condition Convergence)로 나뉘게 됩니다. 정의1. 절대수렴(Absolute Convergence) 무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌을 때 $\sum \left|a_{n}\right|$이 수렴하면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴이라고 한다. 설명 기본적으로 교대급수가 아닌 양항급수를 고려해보겠습니다. 즉, 모든 $n$에 대해서 $a_{n} \ge 0$입니다. 이 경우에는 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2에서는 양의 항을 가지는 무한급수의 수렴성을 판정하기 위한 비교판정법(Comparison Test)과 극한비교판정법(Limit Comparison Test)에 대해서 알아보았습니다. 또한 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)도 알아보았죠. 지금까지 알아본 판정법의 문제점은 수열이 오직 양의 항을 가질때만 입니다. 오늘은 양 및 음의 부호를 서로 교대로 교차하는 교대급수(Alternative Series)와 판정법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 교대급수(Alternative Series) 무한급수를 이루는 수열의 부호가 양수와 음수를 번갈아가며 바뀌게 되는 급수를 교대급수라고 한다..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)를 통해 무한급수의 수렴성을 판별하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 다만, 주의할 점은 적분 판정법의 수렴 결과가 실제 무한급수 값과는 다르기 때문에 근삿값을 구하는 방법은 다르다는 것입니다. 오늘은 무한급수의 수렴성을 판정하는 새로운 방법으로 비교 판정법(Comparison Test)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 정리1. 비교 판정법(Comparison Test) 무한급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이라고 하자. 1). $\sum b_{n}$이 수렴하고 $a_{n} \le b_{n}$이면 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 2). $..
