안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수 곡면에서는 3차원 공간에서 곡면을 매개변수로 표현하는 방법과 곡면과 관련된 다양한 개념들(회전체, 접평면, 곡면의 넓이)을 정리해보았습니다. 오늘은 이어서 면적분 (Surface Integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지금까지 저희는 3차원 곡선 상에서의 적분인 선적분 (Line Integral)을 중점적으로 보았지만 이를 보다 확장하여 3차원 곡면 상에서도 적분을 수행할 수 있습니다. 1. 배경 (Background) 면적분을 이해하기 위해서는 기본적으로 선적분에 대한 개념과 유도과정을 반드시 숙지하고 계셔야하기 때문에 혹시 생각나지 않으시는 분들은 미적분학 - 선적분에서 한번 간단하게 훑어보시고 오시는 것을 추천드립니다. 기본적으로 적분을 하..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 회전과 발산에서는 벡터함수의 회전과 발산의 정의와 관련된 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 매개변수 곡면에 대해서 알아보도록 하죠. 1. 매개변수 곡면 (Parametric Surface) 지금까지 저희는 주로 매개변수 곡선 $C$ 상에서 선적분하는 방법에 대해서 중점적으로 다루었습니다. 여기서 한 가지 궁금증은 매개변수 "곡선"이 있다면 매개변수 "곡면"도 정의할 수 있겠죠? 방법은 간단합니다. 매개변수 곡선은 1개의 매개변수 $t$에 의해 결정되는 벡터함수 $\mathbf{r}(t) = x(t) \mathbf{i} + y(t) \mathbf{j}$로 표현될 수 있었습니다. 곡면은 3차원으로 표현되기 때문에 3개의 성분함수 $$가 필요하겠네요. 보다 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그린 정리에서는 이변수 함수에서의 미적분학 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus; FTC)인 그린 정리(Green's Theorem)에 대해서 알아보았습니다. 그린 정리의 핵심은 어려운 선적분을 곡선이 정의된 영역에서의 단순한 이중적분으로 변환하여 계산하는 것이였습니다. 오늘은 벡터장에서 중요한 개념인 회전(curl)과 발산(divergence)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 회전(curl) 3차원 실수공간 $\mathbb{R}^{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k}$와 $P, Q$ 그리고 $R$의 편도함수가 모두 존재할 때 벡터함수 $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서는 실질적으로 좌표계 변환을 했을 때 발생하는 넓이 차이 $\Delta A$가 생기는 원리와 이를 보정하는 값인 야코비(Jacobian)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터장(Vector Field)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 여러분들이 가장 흔히 보시는 벡터장은 위와 같이 기상뉴스에서 각 위치에 따른 바람의 방향입니다. 다른 예시로는 위 그림과 같이 해류의 방향과 공기의 순환 방향을 예로 들 수 있습니다. 정의1. 벡터장(Vector Field) 1). $D$를 $\mathbb{R}^{2}$의 부분집합이라고 하자. $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터장은 영역 $D$의 각 점 $(x, y)$에 대한 이차원 벡터함수 $\mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 공간곡선의 길이에서는 벡터함수를 매개변수 방정식으로 생각한 뒤 곡선의 길이를 구하는 공식을 유도해보았습니다. 결과적으로 $a \le t \le b$에서 정의된 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$의 곡선의 길이는 $L = \int_{a}^{b} \mathbf{r}^{'}(t) \; dt$입니다. 오늘은 곡률(curvature)의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 곡률(curvature) 곡선의 곡률은 $\kappa = \left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|$로 정의되고 이때, $\mathbf{T}$는 단위 기울기 벡터이다. 설명 기본적으로 구간 $I$에서 공간곡선 $\mathbf{r}$이 부드럽다(smooth)는 것은 구간 $I..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수의 미분과 적분에서는 미적분을 벡터함수에서 어떻게 하는 지에 대해서 알아보았습니다. 결과적으로 벡터함수의 각 성분함수들에 대해서 미분과 적분을 해주면 되는 간단한 일이였습니다. 오늘은 이어서 벡터함수로 표현되는 공간곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 한편, 미적분학 - 매개변수와 미적분학 2에서 저희는 매개변수로 표현되는 함수의 곡선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 예를 들어, 어떤 곡선 $C$가 $(x, y)$로 표현될 때, $a \le t \le b$에서 $x = f(t)$이고 $y = g(t)$라고 하면 곡선의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. $$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터함수와 공간곡선에서는 벡터함수와 공간곡선의 정의와 함께 벡터함수의 극한을 구하는 방법과 연속의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터함수가 주어졌을 때 미적분을 적용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 정의1. 벡터함수의 도함수(Derivative of vector function) 벡터함수 $\mathbf{r}$의 도함수 $\mathbf{r}^{'}$은 아래의 극한이 존재한다면 실함수와 동일하게 정의된다. $$\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{r}^{'}(t) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\mathbf{r}(t + h) - \mathbf{r}(t)}{h}$$ 설명 기본적으로 함수의 미분은 함수의 두 점을 통..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 3차원 원통과 이차곡면에서는 3차원 공간에서 정의되는 다양한 원통과 이차곡면에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 벡터에 대한 내용을 함수로 확장해보도록 하겠습니다. 지금까지는 실함수(real-valued function)에 대해서만 다루었지만 오늘은 곡선과 곡면을 기술하는 데 필요한 벡터 함수(vector-valued function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 벡터함수(vector-valued function, vector function) 벡터함수 $\mathbf{r}$는 정의역(domain)이 실수이고 치역(range)는 벡터의 집합으로 이루어진 함수이다. 예를 들어, 3차원 벡터 공간 $V_{3}$에서 정의된 벡터함수 $\mathb..
