안녕하세요. 지난 시간 기초통계학[23].공액 사전확률분포 1에서 우도가 베르누이 분포나 이항 분포를 따를 때 베타 분포가 공액 사전 확률분포임을 확인했습니다. 오늘은 이어서 정규 분포의 공액 사전 확률분포가 자기 자신임을 확인해보도록 하겠습니다. 본격적으로 시작하기 전에 데이터와 가설이 연속이라고 가정하겠습니다. 1. 정규 분포 어떤 데이터를 측정했을 때 x∼N(θ,σ2)를 얻었다고 가정하겠습니다. 단, σ2을 알고 있다고 가정하겠습니다. 따라서 저희의 가설은 θ입니다. 따라서 f(x|θ)는 정규 분포를 따를 것입니다. 이제 사전 확률분포를 정규 분포라고 가정하겠습니다. 즉, $f(\theta) \sim {\sf N..
안녕하세요. 지난 포스팅에서는 미분방정식[12].2계 선형 미분방정식의 급수해 1에서 멱급수에 대해서 간단하게 복습해보았습니다. 오늘 포스팅은 본격적으로 2계 선형 미분방정식을 특성 방정식을 이용해서 푸는 것이 아니라 급수해를 통해서 푸는 방법을 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 제차 2계 선형 미분방정식의 일반적인 모습부터 확인해보겠습니다. P(x)⋅y″+Q(x)⋅y′+R(x)⋅y=0
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[11].Higher Order Linear ODE 4(https://everyday-image-processing.tistory.com/44)을 통해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 변수변환법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다시 2계 선형 미분방정식으로 돌아가서 급수해를 통해서 해를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 본격적으로 시작하기 전에 이번 포스팅에서는 멱급수(power series)에 대해서 복습하도록 하겠습니다. 자세하게 알아보진 않고 간단하게 상기하는 정도로만 넘어가겠습니다.(자세하게 알고 싶으신 분은 해석학의 멱급수를 확인해보시면 됩니다.) 멱급수 ∑∞n=0an(x−x0)n은 극한값 $\dis..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 기초통계학[22].베이즈 추론 5(https://everyday-image-processing.tistory.com/43)을 통해서 연속 사전확률과 연속 데이터를 가지는 경우에 베이즈 추론을 해보았습니다. 오늘은 지난 시간에 언급했듯이 사전확률분포가 주어져있지 않은 경우 어떻게 해야하는 지 알아보도록 하겠습니다. 먼저 공액 사전 확률분포는 사전 확률분포와 사후 확률분포가 동일한 분포를 가지는 경우의 사전 확률분포라고 하였습니다. 대표적으로 베타 분포와 정규 분포가 있기 때문에 2가지를 중심으로 알아보도록 하겠습니다. 좀 더 정확한 정의는 아래와 같습니다. 우도 f(x|θ)를 가지는 데이터를 가지고, θ에 대한 사전 확률분포 역시 모수 기반 분포라고..
안녕하세요. 지난 시간에는 미분방정식[10](https://everyday-image-processing.tistory.com/42)에서 확인했던 미정계수법을 통해 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법을 확인하였습니다. 이번 시간에는 다른 방법인 매개변수변환법에 대해서 알아보겠습니다. 고계 선형 미분방정식의 매개변수변환법 역시 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법과 동일합니다. 다만 식이 좀 더 복잡해질 뿐입니다. 먼저 아래의 비제차 고계 선형 미분방정식부터 상기하고 넘어가겠습니다. y(n)+pn−1(t)y(n−1)+⋯+p1(t)y′+p0(t)y=g(t) − (1)
안녕하세요. 지난 포스팅에서는 기초통계학[21].베타 분포(https://everyday-image-processing.tistory.com/41)에 대해서 간단하게 알아보았습니다. 오늘은 베이즈 추론의 5번째 포스팅입니다. 지금까지 추론한 경우를 상기해보시면 이산 사전확률을 가지는 연속 사전확률을 가지는 항상 데이터 자체는 이산 데이터임을 떠올릴 수 있습니다. 이번에는 연속 사전확률과 연속 데이터를 가지는 경우에 베이즈 추론을 하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 1. 연속 가설과 연속 데이터 본격적으로 시작하기 전에 이산 데이터에서 연속 데이터로 바뀌었으므로 기호를 재정의하도록 하겠습니다. 물론 이전 기호와 동일한 경우도 있습니다. 가설 : θ 데이터 : x 사전 확률 : $f(..
안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[9].Higher Order Linear ODE 2(https://everyday-image-processing.tistory.com/40)에서 고계 선형 미분방정식을 푸는 기본 개념을 알아보았고 2계 선형 미분방정식을 푸는 방식과 크게 다르지 않다는 것을 알게 되었습니다. 이번 포스팅에서는 비제차(Nonhomogeneous) 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법 중에 하나인 미정계수법을 알아보도록 하겠습니다. 사실 미정계수법을 사용해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법은 2계 선형 미분방정식과 완전하게 동일합니다. 즉, 먼저 제차 고계 선형 미분방정식에 대한 일반해를 유도한 뒤 미정계수법에서 소개된 표를 보고 비제차 고계 선형 미분방정식의 특정해를 더해주..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 기초통계학[20].베이즈 추론 4(https://everyday-image-processing.tistory.com/39)에 이어서 이후에 중요하게 쓰이는 연속 확률분포인 베타 분포에 대해서 알아보겠습니다. 일단 베타 분포 beta(a,b)는 2개의 모수(a, b)를 가지는 분포입니다. 이때 베타 분포의 정의역은 [0,1]입니다. 확률 밀도함수는 아래와 같습니다. f(θ)=(a+b−1)!(a−1)!(b−1)!θa−1(1−θ)b−1
