안녕하세요. 지난 시간에 미분방정식[8].Higher Order Linear ODE 1(https://everyday-image-processing.tistory.com/38)에서 $n$차 선형 미분방정식의 일반적인 정리에 대해서 알아보았습니다. 이를 통해서 저희는 3차, 4차에 대해서도 사실 2차 선형 ODE와 크게 다르지 않다는 것을 알았습니다. 오늘은 Homogeneous한 경우에 고계 선형 미분방정식을 해결하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 기본적으로 방정식은 푸는 방식은 2계 선형 미분방정식을 풀 때와 동일하기 때문에 복습해보도록 하겠습니다. 2계 선형 미분방정식을 풀기 위해서는 기본적으로 $y = e^{rt}$로 가정하고 그에 대응되는 특성방정식(Characteristic Equa..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간은 기초통계학[19].오즈(https://everyday-image-processing.tistory.com/37)에 이어서 지금까지는 이산 사전 확률일 경우에 베이즈 추론을 진행했는데요. 오늘부터는 연속 사전 확률을 가지는 경우에 베이즈 추론을 진행해보도록 하겠습니다. 지금까지 저희는 유한 개의 가설을 가지는 경우에 대해서 베이즈 추론을 진행하였습니다. 이제부터는 가설이 연속 범위 내에 있을 때 베이즈 추론을 알아보겠습니다. 물론 가설이 이산에서 연속으로 바뀌었다고 해서 크게 달라진 것은 없으며 본질적으로는 동일합니다. 따라서 이산 사전확률일 때 베이즈 추론을 잘 이해하셨다면 연속 사전확률일 때도 충분히 이해하실수 있습니다. 본격적으로 진행하기 전에 가설이 연속 범위 내에 ..
안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅까지 진행했던 Second Order Linear ODE를 끝내고 더 고차 미분방정식인 Higher Order Linear ODE를 해결하는 방법을 진행하도록 하겠습니다. 진행하기 전에 order란 첫 포스팅에서 언급했다싶이 미분방정식 내에서 가장 많이 미분을 한 횟수입니다. 따라서 지난 시간의 경우에는 가장 많이 미분한 횟수가 2번이므로 Second Order이고, 오늘부터는 3번, 4번, n번까지 미분한 Third, Fourth, n-th Order에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 그리고 일반적으로 Third Order 이상은 Higher Order로 칭하기도 합니다. 그리고 Higher Order Linear ODE를 푸는 방법이 Second Order에서 크게 벗어나..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 기초통계학[19].베이즈 추론 2 - 확률론적 예측(https://everyday-image-processing.tistory.com/35)에 이어서 다소 생소한 개념인 오즈(Odds)에 대해서 알아보겠습니다. 1. 오즈(Odds) 오즈는 사실 어려운 개념은 아닙니다. 간단하게 이야기하면 두 사건이 발생할 확률의 비율을 표현한 것입니다. 이를 좀 더 정확하게 이야기하면 사건 $E$에 대한 다른 사건 $E^{'}$의 오즈는 두 사건이 발생할 확률의 비율인 $\frac{P(E)}{P(E^{'})}$을 의미합니다. 만약 $E^{'}$가 특정되지 않는 경우 사건 $E$의 여집합, 즉 $E^{c}$로 가정하기도 합니다. 따라서 사건 $E$의 오즈 $O(E) = \frac{P(E)}..
안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[6].Second Order Linear ODE 5 - Nonhomogeneous Equations(https://everyday-image-processing.tistory.com/34)의 Method of undetermined coefficient에 이어서 Nonhomogeneous Equation을 푸는 다른 방법인 Variation Parameter를 알아보도록 하겠습니다. 지난 시간과 동일하게 먼저 Nonhomogeneous Second Order Linear ODE 식을 작성하고 시작하도록 하겠습니다. $$y^{''} + p(t) \cdot y^{'} + q(t) \cdot y = g(t)\ -\ (1)$$ 이때, $y_{c}(t) = C_{1}y..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 기초통계학[17].베이즈 추론 1(https://everyday-image-processing.tistory.com/33)에 이어서 '확률론적 예측'에 관해서 알아보겠습니다. 지난 시간에 베이즈 추론을 알아보았는 데 이를 위해서 데이터를 바탕으로 가설의 확률을 갱신하는 과정을 진행하였습니다. 이를 활용해서 이후에 가능한 결과를 확률로서 표현할 수 있습니다. 먼저, 일상에 확률을 내재하는 문장에 대해서 생각해보겠습니다. 크게 3가지로 나눌 수 잇습니다. 여기서 추정 확률 단어(words of estimative probability; WEP)라는 개념이 나오는 데 어려워 보이지만 '거의'와 같이 미래의 사건이 발생할 가능성을 전달할 수 있는 단어를 포함하는 문장입니다. 예측..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[5].Second Order Linear ODE-Repeated Root Reduction of order(https://everyday-image-processing.tistory.com/31)에 이어서 이제 homogeneous한 second order linear ODE에 대해서는 특성 방정식을 통해 전부 해결했으니 이제는 Nonhomogeneous한 second order linear ODE를 해결하는 방법 중 하나인 Method of undeterminded coefficient에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 Homogeneous, Nonhomogeneous한 second order linear ODE의 형태를 복습하겠습니다. $$y^{''} +p(t)..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 기초통계학[16].최대우도추정법(https://everyday-image-processing.tistory.com/30)에 이어서 본격적으로 베이즈 이론을 활용하는 베이즈 추론에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 특히 오늘은 이산 사전 확률이 주어져 있을 경우에 대해서 알아보겠습니다. 1. 베이지안 법칙 제가 이전에 포스팅했던 기초통계학[3].조건부 확률, 독립, 베이지안 법칙(https://everyday-image-processing.tistory.com/8)에서 가장 마지막 부분을 보시면 베이지안 법칙을 언급하고 있습니다. 베이지안 법칙 자체는 조건부 확률의 모양을 뒤집은 것처럼 생겼습니다. 한번 더 보겠습니다. $H$와 $D$가 사건이라고 했을 때, 베이지안 법칙은 은..
