안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 함수에서는 함수를 보다 명확하게 정의하기 위해서 대응규칙을 정의하고 합성함수와 함께 특별한 조건을 만족하는 함수들인 단사함수, 전사함수, 전단사함수에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 상(image)와 역상(inverse image)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 정의1. 상(image)과 역상(inverse image) 1). 함수 $f : A \rightarrow B$와 부분집합 $A_{0} \subset A$가 주어졌다고 가정하자. 집합 $A_{0}$의 모든 원소들을 함수 $f$에 의해 변환시킨 $f(A_{0})$를 함수 $f$에 대한 $A_{0}$의 상이라고 한다. $$f(A_{0}) = \{b \in B | b = f(a) \text{ for at lea..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 데카르트 곱에서는 두 개의 집합을 이용해서 새로운 집합을 구성하는 데카르트 곱(Cartesian Product)에 대해서 아주 간단하게 알아보았습니다. 지금까지는 정말 집합론의 기본적인 개념들만 배웠기 때문에 이제부터는 이를 활용할 수 있는 방법에 대해서 말해보고자 합니다. 저희는 이를 함수(function)로 시작해보겠습니다. 저희는 함수에 대한 내용을 미적분학 - 함수에서 아주 간단히 다루어보았습니다. 해당 포스팅에서의 정의에 따르면 함수란 정의역 $D$의 원소 $x$가 공역의 어떤 원소로 대응되는 규칙(Rule)을 의미한다고 하였습니다. 그리고 저희는 이전부터 강조했지만 수학자들이 가장 싫어하는 것은 모호한 표현입니다. 대응 규칙(Rule of Assignmen..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 확장된 합집합과 교집합에서는 기존에는 2개 또는 3개의 집합들 사이의 연산만 수행하였지만 이를 임의의 개수의 집합들의 연산으로 확장을 해보았습니다. 지금까지 저희는 새로운 집합을 만드는 방법으로 합집합, 교집합, 차집합에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 새로운 연산인 집합의 데카르트 곱(cartesian product)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 데카르트 곱(cartesian product) 임의의 두 집합 $A$와 $B$에 대해서 두 집합의 데카르트 곱 $A \times B$은 집합 $A$의 원소 $a$와 집합 $B$의 원소 $b$의 순서쌍(ordered pair) $(a, b)$으로 만들어지는 집합이다. $$A \times B = \{(a, b) | ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 차집합과 집합론의 규칙에서는 차집합의 정의와 분배법칙, 그리고 드모르간의 법칙을 증명해보았습니다. 지금까지 저희가 보았던 집합 연산 (합집합, 교집합, 차집합)에서는 2개의 집합 사이의 연산이였습니다. 하지만 오늘은 $n$개의 집합 사이의 연산들로 확장해보도록 하겠습니다. 일단, 시작하기 전에 집합의 모임(Collections of Sets)에 대한 이야기를 해보도록 하죠. 종종 저희는 집합에 대한 이야기를 할 때 집합 그 자체를 포함시키는 집합이 존재하는 지에 대한 의문을 품고는 합니다. 이와 같이 집합 $A$를 포함하는 새로운 집합 $\mathcal{A}$가 있다고 할 때 저희는 이 집합을 모임이라고 합니다. 집합의 모임이라고 하더라도 다양하게 정의할 수 있겠죠...
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 대우, 역, 그리고 부정에서는 명제의 대우, 역 그리고 부정을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 이때, 명제의 참/거짓을 증명하기 어려울 때 사용하는 방법이 대우명제를 통한 간접증명임도 설명하였습니다. 오늘은 차집합과 집합론과 관련된 몇 가지 규칙들을 설명드리도록 하겠습니다. 정의1. 차집합(Difference of two sets) 임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 차집합은 $A - B = \{x | x \in A \text{ and } x \notin B\}$이다. 설명 지금까지 저희는 두 개의 집합에 대한 3가지 연산(합집합, 교집합, 차집합)에 대해서 알아보았습니다. 그리고 각 연산 결과를 벤다이어그램으로 그려보면 위와 같은 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 교집합, 공집합, "If ... Then"의 의미에서는 교집합의 정의를 시작으로 이로인해 발생되는 모순을 해결하기 위한 공집합의 도입을 순서대로 보았습니다. 하지만, 공집합을 도입하더라도 없어지지 않는 모순을 제거하는 공허참(Vacuously True)에 대해서 알아보았습니다. 결론적으로 공허참이란 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 가정 $P$가 거짓이면 결론의 참/거짓에 관계없이 전체명제를 참으로 하자라는 것 입니다. 오늘은 가정-결론 문장($\text{If } P \text{ ,then } Q$)에서 새로운 명제를 만드는 대우(contraposition), 역(converse), 그리고 부정(Negation)에 대해서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - "or" 의 의미에서는 영어 단어 "or"이 가지는 모호성으로 인해 발생하는 문제가 수학에서도 발생하지 않도록 하기 위해 "or"의 의미를 명확하게 정의하였습니다. 정리하면 임의의 두 명제 $P$와 $Q$에 대해서 $P \text{ or } Q$라는 것은 명제 $P$이거나 명제 $Q$이거나 $P$와 $Q$를 모두(both) 만족하는 것입니다. 그리고 두 집합 $A$와 $B$의 합집합 $A \cup B$의 정의에 대해서도 알아보았습니다. 오늘도 집합론을 본격적으로 공부하기에 앞서 간단한 몇 가지 정의들(교집합, 공집합)을 알아보고 가정-결론으로 구성되는 "If ... Then" 구조문의 의미를 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 교집합(intersection) 임의의 두 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 집합론 - 소개에서는 집합론이 수학이라는 학문에서 차지하는 비중이 크다는 것과 몇 가지 중요한 기호($\in, \notin, \subset, \nosubset$)들을 보았습니다. 또한 집합을 표현하는 방법에는 크게 2가지로 원소나열법(tabular form)과 조건제시법(set builder form)으로 나뉜다고 말씀드렸습니다. 위 방법들 중 특히 조건제시법은 수많은 원소를 포함하는 집합을 표현하는 데 있어 필수적인 개념이기 때문에 반드시 알아놓으셔야합니다. 오늘은 약간 논리적인 이야기로 "or"이 수학에서 어떤 의미를 내포하는 지 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 합집합(Union) 임의의 두 집합 $A$와 $B$가 주어졌을 때 $A$와 $B$의 합집합은 $A \cup B =..
