안녕하세요. 오늘은 지금까지 배웠던 미분과 관련된 더욱 다양한 문제들을 풀어보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 만약, 모르시는 부분이 있다면 아래의 링크들을 참조하고 다시 풀어보시길 바랍니다. 3. 미분 규칙 (Differentiation Rules) 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분 (Keyword : 다항함수의 미분, 지수함수의 미분) 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분 (Keyword : 곱의 미분, 몫의 미분) 미적분학 - 삼각함수 미분 (Keyword : $\sin$ 함수 미분, $\cos$ 함수 미분, \tan$ 함수 미분, $\sec$ 함수 미분, $\csc$ 함수 미분, $\cot$ 함수 미분) 미적분학 - 연쇄 법칙 (Keyword : 연쇄 법칙, 합성함수의 미분) 미적분학 - 음함수의..
안녕하세요. 미적분학 관련 포스팅은 모두 끝났지만 앞으로 몇 가지 보충할 주제가 있으면 쓰기로 했기 때문에 오늘은 쌍곡선 함수 (Hyperbolic Function)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 쌍곡선 함수 (Hyperbolic Functions) 1). $\sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ 2). $\cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ 3). $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$ 4). $\text{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{-x}}$ 5). $\text{sech}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 최대값과 최소값에서는 전역최대 및 전역최소의 정의, 그리고 지역최대 및 지역최소의 정의, 마지막으로 임계값에 대해서 알아보았습니다. 그리고 이와 관련된 다양한 정리들(극값이론;Extreme Value Theorem, 페르마 정리;Fermat's Theorem)도 보았습니다. 오늘은 이어서 굉장히 중요하게 쓰이는 평균값 정리(Mean Value Theorem;MVT)에 대해서 알아보겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 하지만, 평균값 정리를 유도하기 전에 저희가 먼저 알아봐야 할 정리는 롤의 정리(Rolle's Theorem)입니다. 정리의 정확한 statement는 아래의 링크를 참조바랍니다. Rolle's th..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 로그함수 미분에서는 로그함수의 미분법과 로그함수를 포함한 다양한 합성함수의 미분법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분을 응용한 수치적 계산법인 선형근사법(Linear Approximation)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 위 그림을 먼저 보시면 어느정도 이해가 가실겁니다. $x = a$에서 $f(x)$의 접선이 $L(x)$라고 할 때, $x = a$ 근처에서는 $y = L(x) = f(a) + f^{'}(x)(x - a)$와 $f(x)$가 별 차이가 나지 않는 다는 것을 볼 수 있습니다. 하지만, 멀어질수록 그 차이는 벌어지겠죠. 이러한 정보를 활용해서 $f(1)$에서의 값을 알..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 음함수의 미분에서는 고급삼각함수 $\csc{(x)}, \sec{(x)}, \cot{(x)}$를 음함수 미분법을 이용해서 미분하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 로그함수를 미분하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 로그함수 역시 지수 함수의 역함수이기 때문에 이를 활용하면 아주 쉽게 미분할 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 로그함수의 미분 $$\frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) = \frac{1}{x\ln{a}}$$ 증명 로그함수의 미분은 지수함수로의 변형을 통해 쉽게 증명할 수 있습니다. 저희가 생각해야할 점은 로그함수란 지수함수의 역함수라는 사실을 활용한..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 곱의 미분과 몫의 미분에서는 두 함수의 곱과 나누기의 형태로 주어졌을 때 미분을 하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이에 이어서 삼각함수(Trigometric function)의 미분에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 삼각함수 미분에 있어서 가장 많이 활용되는 식은 "합차 공식"입니다. $\sin{(x \pm y)} = \sin{(x)}\cos{(y)} \pm \sin{(y)}\cos{(x)}$ $\cos{(x \pm y)} = \cos{(x)}\cos{(y)} \mp \sin{(x)}\sin{(y)}$ 본격적으로 미분을 구하기 전 삼각함수 미분의 재밌는 특성은 삼각함수도 주기적이..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한대 극한에서는 $x \rightarrow \infty$이거나 $x \rightarrow -\infty$일 때 $\pm \infty$로 발산하는 경우와 이에 대한 정확한 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학의 꽃이라고 할 수 있는 미분에 대해서 간단하게 설명해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 접선 (Tangent) 직교평면에 어떤 곡선 $C$가 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 이 곡선이 $y = f(x)$로 나타낼 수 있다고 하면 점 $P(a, f(a))$에서 곡선 $C$의 접선(Tangent)를 찾는 것이 목표입니다. 문제를 간단하게 하기 위해서 일단 점 $P$ 근방의 임의의 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 연속 함수에서는 연속 함수에 대한 정의와 성질, 중간값 정리에 대해서 알아보았습니다. 지금까지의 극한은 $x$가 특정값 $a$로 접근했을 때 변화를 알아보았다면 오늘은 $x$가 무한히 커지거나 작아지는 극한에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 간단한 예시로 $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} +1}$의 그림을 보도록 하겠습니다. 위와 같이 $x$가 커지면 커질수록 $f(x)$가 $y = 1$에 접근하는 것을 관찰할 수 있습니다. 저희는 이를 아래와 같이 쓰도록 하겠습니다. $$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + ..
