안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[16].2계 선형 미분방정식의 급수해 5에서 오일러 방정식의 일반해를 경우에 따라 조사해보았습니다. 그런데 지난 포스팅을 보신 분들이라면 조금 의아하실텐데요. 제가 급수해를 구하는 부분에서 그냥 이전에 배웠던 특성방정식 기법을 도입해서 일반해를 구했습니다. 그 이유가 오늘 포스팅할 내용인데요. 오일러 방정식의 일반해를 구했던 아이디어를 기반으로 정칙 특이점 주변의 해를 구할 수 있기 때문입니다. 먼저 $P(x)y^{''}+Q(x)y^{'}+R(x)y=0\ (1)$을 생각해보겠습니다. 문제를 간단하게 만들기위해서 $x_{0}=0$이 정칙 특이점이라고 가정하겠습니다. 그러므로 $x\frac{Q(x)}{P(x)}=xp(x)$, $x^{2}\frac{R(x)}{P(x)}=x..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[14].2계 선형 미분방정식의 급수해 3에서 정상점(ordinary point)에 대해서는 모든 $a_{n}$에 대해서 값을 구할 수 있음을 보았습니다. 오늘은 특이점(singular point) 중에서도 더 강한 조건에 대한 특이점인 정칙 특이점(regular singular point)의 정의에 대해서 알아보겠습니다. 먼저 정칙 특이점(regular singular point)의 정의부터 확인해보겠습니다. $P, Q, R$이 다항식(polynomial)일 때 점 $x_{0}$에서 $\lim_{x \to x_{0}} (x-x_{0})\frac{Q(x)}{P(x)}$와 $\lim_{x \to x_{0}} (x-x_{0})^{2}\frac{R(x)}{P(x)}$가 유한..
안녕하세요. 그간 학교 생활에 치여서 굉장히 오랜만에 올립니다. 지난 시간에는 2계 선형 미분방정식의 급수해 2에서 2계 선형 미분방정식을 푸는 아이디어를 알아보고 실제로 문제를 풀어보기도 하였습니다. 오늘은 지난 시간과 달리 간단한 이론적인 배경을 알아보도록 하겠습니다. 먼저 일반적인 제차 2계 선형 미분방정식의 식을 보도록 하겠습니다. $$P(x)y^{''} + Q(x)y^{'} + R(x)y = 0\ (1)$$ 지난 시간의 본 식과 동일합니다. 먼저 $x_{0}$를 정상점(ordinary point)이라고 가정하겠습니다. 참고로 정상점은 $P(x)$를 0으로 만들지 않는 값을 의미합니다. 만약 $P(x)$가 $x_{0}$에서 0이 된다면 특이점(singular point)라고 하였습니다. 이는 지난..
안녕하세요. 지난 포스팅에서는 미분방정식[12].2계 선형 미분방정식의 급수해 1에서 멱급수에 대해서 간단하게 복습해보았습니다. 오늘 포스팅은 본격적으로 2계 선형 미분방정식을 특성 방정식을 이용해서 푸는 것이 아니라 급수해를 통해서 푸는 방법을 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 제차 2계 선형 미분방정식의 일반적인 모습부터 확인해보겠습니다. $$P(x) \cdot y^{''} + Q(x) \cdot y^{'} + R(x) \cdot y = 0$$ 이때 독립변수가 $x$인데 신경쓰지 않으셔도 됩니다. 그리고 한 가지 가장 큰 차이점은 각 계수가 상수가 아니라는 점입니다. 특성 방정식을 이용해서 풀 때는 2차 방정식의 해를 구해야하기 때문에 각 계수가 상수라는 가정을 했었죠. 하지만 급수해를 이용해서 미분방정..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[11].Higher Order Linear ODE 4(https://everyday-image-processing.tistory.com/44)을 통해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 변수변환법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다시 2계 선형 미분방정식으로 돌아가서 급수해를 통해서 해를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 본격적으로 시작하기 전에 이번 포스팅에서는 멱급수(power series)에 대해서 복습하도록 하겠습니다. 자세하게 알아보진 않고 간단하게 상기하는 정도로만 넘어가겠습니다.(자세하게 알고 싶으신 분은 해석학의 멱급수를 확인해보시면 됩니다.) 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}$은 극한값 $\dis..
