안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 원통껍질을 이용한 회전체 부피 구하기 에서는 보다 복잡한 형태의 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 적분을 이용해서 함수가 주어졌을 때 평균적인 함수의 값을 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단, 기본적으로 $n$개의 표본 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$이 주어졌을 때, 산술 평균은 $y_{avg} = \frac{y_{1} + y_{2} + \cdots + y_{n}}{n}$으로 구할 수 있습니다. 따라서, 저희가 함수의 평균을 구하기 위해서는 표본점을 선택해야합니다. 이전과 마찬가지로 $n$개의 등구간으로 나누고 각 구간의 표본점 $x..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 입체 부피 구하기에서는 $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 중간이 비어있는 형태의 회전체의 부피를 구하는 방법인 실린더 방법(method of cylinder shell)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단, 위의 그림과 같이 $y = 2x^{2} - x^{3}$과 $y = 0$으로 둘러쌓인 영역이 있다고 가정하겠습니다. 그리고 이 영역을 $y$축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 부피를 고려해보도록 하겠습니다. 지금까지 저희가 보았던 부피를 구하기 위해서는 $y$축을 중심으로 회전하기 때문에 주어진 식을 $y$에..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이에서는 적분을 통해 복잡한 형태의 영역의 넓이를 구할 수 있엇습니다. 오늘은 넓이뿐만 아니라 부피도 구할 수 있음을 보여드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 기본적으로 부피를 구하는 공식은 아래와 같습니다. $$V = Ah$$ 여기서 $A$는 입체의 밑넓이, $h$는 높이입니다. 이때, 핵심은 간단합니다. 기존에 저희가 넓이를 구할 때는 영역을 $n$개의 직사각형으로 잘게 쪼갠 뒤 각 직사각형의 넓이를 모두 더한 뒤 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취하였습니다. 부피를 구할 때도 마찬가지입니다. 위의 왼쪽 그림과 같이 $n$개의 작은 높이를 가지는 영역으로 잘게 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 치환적분에서는 보다 복잡한 함수의 적분을 가능하게 하는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 알아보았습니다. 오늘부터는 적분을 활용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 첫번째 활용은 임의의 두 곡선 사이의 넓이를 적분을 통해 구할 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 먼저, 위와 같은 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$를 고려하겠습니다. 이제 저희가 하고 싶은 것은 구간 $[a, b]$에서 두 곡선 사이의 영역 $S$ 넓이인 $A$를 구하는 것입니다. 이때, 영역 $S$를 수학적으로 표현하면 아래와 같습니다. $$S = \{(x, y) | a \le x \le b, g(x)..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부정적분에서는 몇 가지 기본 함수들의 적분 결과를 테이블로 정리하였습니다. 오늘은 테이블에 나와있지 않는 함수들도 적분할 수 있도록 만들어주는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 설명하도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 미적분학 - 미적분학 기본정리의 FTC 2에 따르면 정적분을 계산하기 위해서는 반드시 적분을 해야합니다. 하지만, 미분과는 다르게 적분은 쉽게 할 수 없습니다. 당장 예를 들어 $\int 2x\sqrt{1 + x^{2}} \; dx$ 같은 경우에는 지난 포스팅의 테이블에 나와있지 않기 때문에 저희가 알고 있는 지식으로는 적분할 수 없습니다. 하지만, 이러한 함..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미적분학 기본정리에서는 미분과 적분 사이의 관계와 정적분을 계산하는 방법에 대한 내용을 설명하였습니다. 오늘은 윗끝과 아래끝이 정해지지 않은 부정적분에 대해 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 저희는 지난 포스팅의 FTC 1에 의해 적분은 미분의 역임을 알게 되었습니다. 따라서, $\frac{d}{dx} \left(F(x)\right) = f(x)$와 같은 식이 성립한다면 $\int f(x) \; dx = F(x) + C$도 성립하게 됩니다. 이때, $C$를 적분 상수(integral constant)라 부릅니다. $C$는 상수이기 때문에 미분할 때 없어지고 $\frac {d}{dx} \left(F..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 적분의 정의와 계산 그리고 정적분의 성질에서는 정적분이 가지는 좋은 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미분과 적분 사이의 관계를 설명하는 미적분학 기본정리에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리 1. 미적분학 기본정리 PART 1 (The Fundamental Theorem of Calculus PART 1; FTC 1) 함수 $f$가 닫힌 구간 $I = [a, b]$에서 연속이면 $x \in I$에 대해서 정의된 $g(x) = \int_{a}^{x} f(x) \; dx$는 닫힌 구간 $I$에서 연속이고 열린 구간 $(a, b)$에서 미분 가능하며 $g^{'}(x) = f(x)$이다...
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 영역 문제에서는 어떤 곡선이 주어졌을 때 밑넓이를 구하는 간단한 과정을 보여드렸습니다. 기본적으로 같은 밑변의 길이를 가지도록 $n$개의 직사각형으로 쪼갠다음에 각 넓이를 전부 합하고 $n \rightarrow \infty$에 대한 극한값을 계산하면 저희는 곡선의 밑넓이 값을 얻을 수 있었습니다. 오늘은 좀 더 자세한 적분의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 적분 (Integral) 닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 이때, 닫힌구간 $I$를 동일한 길이 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$를 가지는 $n$개의 구간으로 ..
