안녕하세요. 그간 학교 생활에 치여서 굉장히 오랜만에 올립니다. 지난 시간에는 2계 선형 미분방정식의 급수해 2에서 2계 선형 미분방정식을 푸는 아이디어를 알아보고 실제로 문제를 풀어보기도 하였습니다. 오늘은 지난 시간과 달리 간단한 이론적인 배경을 알아보도록 하겠습니다. 먼저 일반적인 제차 2계 선형 미분방정식의 식을 보도록 하겠습니다. $$P(x)y^{''} + Q(x)y^{'} + R(x)y = 0\ (1)$$ 지난 시간의 본 식과 동일합니다. 먼저 $x_{0}$를 정상점(ordinary point)이라고 가정하겠습니다. 참고로 정상점은 $P(x)$를 0으로 만들지 않는 값을 의미합니다. 만약 $P(x)$가 $x_{0}$에서 0이 된다면 특이점(singular point)라고 하였습니다. 이는 지난..
안녕하세요. 지난 포스팅에서는 미분방정식[12].2계 선형 미분방정식의 급수해 1에서 멱급수에 대해서 간단하게 복습해보았습니다. 오늘 포스팅은 본격적으로 2계 선형 미분방정식을 특성 방정식을 이용해서 푸는 것이 아니라 급수해를 통해서 푸는 방법을 알아보도록 하겠습니다. 먼저, 제차 2계 선형 미분방정식의 일반적인 모습부터 확인해보겠습니다. $$P(x) \cdot y^{''} + Q(x) \cdot y^{'} + R(x) \cdot y = 0$$ 이때 독립변수가 $x$인데 신경쓰지 않으셔도 됩니다. 그리고 한 가지 가장 큰 차이점은 각 계수가 상수가 아니라는 점입니다. 특성 방정식을 이용해서 풀 때는 2차 방정식의 해를 구해야하기 때문에 각 계수가 상수라는 가정을 했었죠. 하지만 급수해를 이용해서 미분방정..
안녕하세요. 오늘은 지난 시간의 미분방정식[11].Higher Order Linear ODE 4(https://everyday-image-processing.tistory.com/44)을 통해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 변수변환법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 다시 2계 선형 미분방정식으로 돌아가서 급수해를 통해서 해를 구하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 본격적으로 시작하기 전에 이번 포스팅에서는 멱급수(power series)에 대해서 복습하도록 하겠습니다. 자세하게 알아보진 않고 간단하게 상기하는 정도로만 넘어가겠습니다.(자세하게 알고 싶으신 분은 해석학의 멱급수를 확인해보시면 됩니다.) 멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n}$은 극한값 $\dis..
안녕하세요. 지난 시간에는 미분방정식[10](https://everyday-image-processing.tistory.com/42)에서 확인했던 미정계수법을 통해 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법을 확인하였습니다. 이번 시간에는 다른 방법인 매개변수변환법에 대해서 알아보겠습니다. 고계 선형 미분방정식의 매개변수변환법 역시 2계 선형 미분방정식을 푸는 방법과 동일합니다. 다만 식이 좀 더 복잡해질 뿐입니다. 먼저 아래의 비제차 고계 선형 미분방정식부터 상기하고 넘어가겠습니다. $$y^{(n)} + p_{n-1}(t)y^{(n-1)} + \dots + p_{1}(t)y^{'} + p_{0}(t)y = g(t)\ -\ (1)$$ 이때 $(1)$에서 제차인 경우의 fundamental set of so..
안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[9].Higher Order Linear ODE 2(https://everyday-image-processing.tistory.com/40)에서 고계 선형 미분방정식을 푸는 기본 개념을 알아보았고 2계 선형 미분방정식을 푸는 방식과 크게 다르지 않다는 것을 알게 되었습니다. 이번 포스팅에서는 비제차(Nonhomogeneous) 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법 중에 하나인 미정계수법을 알아보도록 하겠습니다. 사실 미정계수법을 사용해서 비제차 고계 선형 미분방정식을 푸는 방법은 2계 선형 미분방정식과 완전하게 동일합니다. 즉, 먼저 제차 고계 선형 미분방정식에 대한 일반해를 유도한 뒤 미정계수법에서 소개된 표를 보고 비제차 고계 선형 미분방정식의 특정해를 더해주..
안녕하세요. 지난 시간에 미분방정식[8].Higher Order Linear ODE 1(https://everyday-image-processing.tistory.com/38)에서 $n$차 선형 미분방정식의 일반적인 정리에 대해서 알아보았습니다. 이를 통해서 저희는 3차, 4차에 대해서도 사실 2차 선형 ODE와 크게 다르지 않다는 것을 알았습니다. 오늘은 Homogeneous한 경우에 고계 선형 미분방정식을 해결하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 기본적으로 방정식은 푸는 방식은 2계 선형 미분방정식을 풀 때와 동일하기 때문에 복습해보도록 하겠습니다. 2계 선형 미분방정식을 풀기 위해서는 기본적으로 $y = e^{rt}$로 가정하고 그에 대응되는 특성방정식(Characteristic Equa..
안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅까지 진행했던 Second Order Linear ODE를 끝내고 더 고차 미분방정식인 Higher Order Linear ODE를 해결하는 방법을 진행하도록 하겠습니다. 진행하기 전에 order란 첫 포스팅에서 언급했다싶이 미분방정식 내에서 가장 많이 미분을 한 횟수입니다. 따라서 지난 시간의 경우에는 가장 많이 미분한 횟수가 2번이므로 Second Order이고, 오늘부터는 3번, 4번, n번까지 미분한 Third, Fourth, n-th Order에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 그리고 일반적으로 Third Order 이상은 Higher Order로 칭하기도 합니다. 그리고 Higher Order Linear ODE를 푸는 방법이 Second Order에서 크게 벗어나..
안녕하세요. 오늘은 지난 포스팅의 미분방정식[6].Second Order Linear ODE 5 - Nonhomogeneous Equations(https://everyday-image-processing.tistory.com/34)의 Method of undetermined coefficient에 이어서 Nonhomogeneous Equation을 푸는 다른 방법인 Variation Parameter를 알아보도록 하겠습니다. 지난 시간과 동일하게 먼저 Nonhomogeneous Second Order Linear ODE 식을 작성하고 시작하도록 하겠습니다. $$y^{''} + p(t) \cdot y^{'} + q(t) \cdot y = g(t)\ -\ (1)$$ 이때, $y_{c}(t) = C_{1}y..
