안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부분적분에서는 보다 복잡한 형태의 적분을 계산할 수 있는 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 치환적분과 부분적분을 활용하여 특별한 형태를 가진 함수들을 적분해보도록 하겠습니다. 오늘은 삼각함수입니다. 시작하기에 앞서 $\int \cos^{3}(x) \; dx$를 적분해보도록 하겠습니다. 바로 안떠오르실 겁니다. 저희가 지금까지 사용했던 기본적인 형태의 삼각함수가 아니기 때문이죠. 따라서 해당 식을 저희가 적분할 수 있도록 적절한 형태로 바꾸는 것이 핵심이 되겠습니다. 이를 위해서는 삼각함수와 관련된 중요한 항등식들을 활용해야합니다. 1. $\sin^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1$ 2. $\..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 평균에서는 적분을 이용해서 실제 함수의 평균을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 더욱 복잡한 형태의 함수를 적분하기 위한 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기본적으로 모든 적분은 FTC에 의해 대응되는 미분 규칙이 존재합니다. 예를 들어, 치환 적분에 대응되는 미분 규칙은 연쇄 법칙인 것처럼 말입니다. 부분 적분에 대응되는 미분 규칙은 함수의 곱셈을 미분할 때 얻는 결과를 활용하게 됩니다. 아래의 연산 결과를 보시면 쉽게 이해할 수 있습니다. $$\frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x)\right] = f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x)$$ 위 연산은 곱셈 형태..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 치환적분에서는 보다 복잡한 함수의 적분을 가능하게 하는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 알아보았습니다. 오늘부터는 적분을 활용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 첫번째 활용은 임의의 두 곡선 사이의 넓이를 적분을 통해 구할 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 먼저, 위와 같은 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$를 고려하겠습니다. 이제 저희가 하고 싶은 것은 구간 $[a, b]$에서 두 곡선 사이의 영역 $S$ 넓이인 $A$를 구하는 것입니다. 이때, 영역 $S$를 수학적으로 표현하면 아래와 같습니다. $$S = \{(x, y) | a \le x \le b, g(x)..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 부정적분에서는 몇 가지 기본 함수들의 적분 결과를 테이블로 정리하였습니다. 오늘은 테이블에 나와있지 않는 함수들도 적분할 수 있도록 만들어주는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 설명하도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 미적분학 - 미적분학 기본정리의 FTC 2에 따르면 정적분을 계산하기 위해서는 반드시 적분을 해야합니다. 하지만, 미분과는 다르게 적분은 쉽게 할 수 없습니다. 당장 예를 들어 $\int 2x\sqrt{1 + x^{2}} \; dx$ 같은 경우에는 지난 포스팅의 테이블에 나와있지 않기 때문에 저희가 알고 있는 지식으로는 적분할 수 없습니다. 하지만, 이러한 함..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 영역 문제에서는 어떤 곡선이 주어졌을 때 밑넓이를 구하는 간단한 과정을 보여드렸습니다. 기본적으로 같은 밑변의 길이를 가지도록 $n$개의 직사각형으로 쪼갠다음에 각 넓이를 전부 합하고 $n \rightarrow \infty$에 대한 극한값을 계산하면 저희는 곡선의 밑넓이 값을 얻을 수 있었습니다. 오늘은 좀 더 자세한 적분의 정의에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 적분 (Integral) 닫힌구간 $I = [a, b]$에서 정의된 함수 $f$가 주어졌다고 하자. 이때, 닫힌구간 $I$를 동일한 길이 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$를 가지는 $n$개의 구간으로 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 그래프 그리기에서는 복잡한 형태의 그래프를 그리는 방법을 설명드렸습니다. 지금까지는 미분을 중심으로 설명드렸다면 오늘부터는 주제를 바꾸어서 적분에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 기본적으로 적분은 그림1과 같이 어떤 곡선 $y = f(x)$가 주어졌을 때, 곡선과 $x$축의 구간 $[a, b]$사이에서 $S$의 면적을 구하는 문제부터 시작합니다. 이때, 면적 $S$를 수학적인 집합으로 표기하면 아래와 같습니다. $$S = \{(x, y) | a \le x \le b, 0 \le y \le f(x)\}$$ 이제 $S$의 면적을 구하면 되겠네요! 하지만 일반적으로 저희가 아는 기초도형(삼각..
