안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 절대수렴과 조건수렴에서는 두 가지 종류의 수렴 종류에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 판정하는 방법에 대해서도 알아보도록 하겠습니다. 각각 비판정법(ratio test)과 근판정법(root test)입니다. 정리1. 비판정법(ratio test) 무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌다고 하자. 1). $\lim_{n \rightarrow \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = L 1$ 이거나 $\lim_{n \righta..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 교대급수에서는 부호가 번갈아가며 더해지는 교대급수(Alternative Series)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 급수의 수렴에도 종류가 있다는 것을 알려드리도록 하겠습니다. 수렴하는 조건에 따라 각각 절대수렴(Absolute Convergence)와 조건수렴(Condition Convergence)로 나뉘게 됩니다. 정의1. 절대수렴(Absolute Convergence) 무한급수 $\sum a_{n}$이 주어졌을 때 $\sum \left|a_{n}\right|$이 수렴하면 무한급수 $\sum a_{n}$은 절대수렴이라고 한다. 설명 기본적으로 교대급수가 아닌 양항급수를 고려해보겠습니다. 즉, 모든 $n$에 대해서 $a_{n} \ge 0$입니다. 이 경우에는 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 2에서는 양의 항을 가지는 무한급수의 수렴성을 판정하기 위한 비교판정법(Comparison Test)과 극한비교판정법(Limit Comparison Test)에 대해서 알아보았습니다. 또한 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)도 알아보았죠. 지금까지 알아본 판정법의 문제점은 수열이 오직 양의 항을 가질때만 입니다. 오늘은 양 및 음의 부호를 서로 교대로 교차하는 교대급수(Alternative Series)와 판정법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 교대급수(Alternative Series) 무한급수를 이루는 수열의 부호가 양수와 음수를 번갈아가며 바뀌게 되는 급수를 교대급수라고 한다..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 1에서는 적분 판정법(Integration Test)를 통해 무한급수의 수렴성을 판별하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 다만, 주의할 점은 적분 판정법의 수렴 결과가 실제 무한급수 값과는 다르기 때문에 근삿값을 구하는 방법은 다르다는 것입니다. 오늘은 무한급수의 수렴성을 판정하는 새로운 방법으로 비교 판정법(Comparison Test)에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 정리1. 비교 판정법(Comparison Test) 무한급수 $\sum a_{n}$과 $\sum b_{n}$ 모두 양의 실수로 이루어진 수열이라고 하자. 1). $\sum b_{n}$이 수렴하고 $a_{n} \le b_{n}$이면 $\sum a_{n}$은 수렴한다. 2). $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 급수의 성질에서는 무한급수의 성질과 함께 수렴성을 검사하는 발산 검사(Test for Divergence)도 알아보았습니다. 아무래도 저희는 지금 무한급수를 다루고 있기 때문에 일단 수렴하는 지에 대한 여부가 큰 관심입니다. 따라서, 다양한 수렴성 검사들이 존재하는 데 오늘은 첫번째로 적분 검사(Integration Test)에 대해서 알려드리도록 하겠습니다. 정리1. 적분 검사(Integration Test) 함수 $f$가 $[1, \infty)$에서 연속, 양수, 감소함수이고 $a_{n} = f(n)$이라고 하자. 그러면, 아래의 두 가지를 만족한다. 1). $\int_{1}^{\infty} f(x) \; dx$가 수렴하면 $\sum_{n = 1}^{\infty..
