안녕하세요. 지난 포스팅의 미분방정식[21].라플라스 변환 4에서는 다이락-델타 함수의 라플라스 변환법을 알아보았습니다. 오늘은 복잡한 식의 라플라스 변환을 좀 더 쉽게 바꿀 수 있는 합성곱 적분(convolutional integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 아마 이번 포스팅이 라플라스 변환의 마지막 포스팅이 될 거 같네요. 합성곱 적분을 소개하기 전에 아래의 간단한 정리를 먼저 소개하겠습니다. 이 정리가 합성곱을 설명해주고 있습니다. $F(s) = L(f(t)), G(s) = L(g(t))$가 모두 $s > a \geq 0$에서 존재한다면 두 함수의 곱 $F(s)$, $G(s)$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $$H(s)=F(s) \cdot G(s) = L(h(t))\ for\ s > a..
안녕하세요. 지난 포스팅에는 미분방정식[20].라플라스 변환 3에서 $g(t)$가 계단 함수의 꼴을 가지는 경우에 라플라스 변환을 어떻게 해야하는 지에 대해서 알아보았습니다. 오늘도 비슷하게 계단함수의 꼴을 가지지만 더 특이한 함수인 충격 함수(Impulse function)에 대한 라플라스 변환을 하는 법을 알아보도록 하겠습니다. 먼저 일반적인 비제차 2계 선형 미분방정식 꼴을 보도록 하겠습니다. $$ay^{''} + by^{'} + cy = g(t)$$ 여기서 $g(t)$를 강제 함수(forcing function, forcing term)이라고 하겠습니다. 강제 함수의 특징은 굉장히 짧은 구간 $t_{0} - \tau < t < t_{0} + \tau$에서 큰 값을 가지고 나머지 구간에서는 값이 0..
안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[19].라플라스 변환 2에서 라플라스 변환에서 빈번하게 사용되는 정리와 따름정리를 알아보고 간단한 예제까지 해결해보았습니다. 오늘부터는 계단 함수(step function)에 대해서 알아보고 라플라스 변환에 어떻게 적용될 수 있는 지 알아보도록 하겠습니다. 먼저 단위 계단함수(unit step fucntion)입니다. 단위 계단함수는 위의 그래프와 같이 $t=c$를 기준으로 0 또는 1로 변화하는 함수입니다. 이 함수를 식으로 표현하면 아래와 같을 것입니다. $$ u_{c}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \quad t \geq c \\ 0 & \quad t < c \end{array} \right. $$ 이번에는 단위 계단함수에 라플라스..
안녕하세요. 지난 시간에는 미분방정식[18].라플라스 변환 1에서 라플라스 변환을 정의하기 위한 몇 가지 개념과 라플라스 변환을 정의했습니다. 오늘은 라플라스 변환을 사용해서 주어진 미분방정식을 푸는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 본격적으로 시작하기 전에 라플라스 변환과 관련된 정리부터 확인하고 가겠습니다. 이 정리는 나중에 미분방정식의 해를 구할 때 유용하게 사용되는 정리이니 꼭 확인해주시길 바랍니다. 함수 $f$와 도함수 $f^{'}$가 $0 \le t \le A$에서 조각 연속(pointwise continuous)라고 가정하고, $t \ge M$인 $t$에서 $|f(t)| \le k \cdot e^{at}$를 만족하는 $k, a M$이 있다고 가정하겠습니다. 그러면 $f^{'}$의 라플라스 변환 ..
안녕하세요. 지난 시간의 미분방정식[17].2계 선형 미분방정식의 급수해 6를 마지막으로 급수해에 관련된 제가 준비한 내용은 끝냈습니다. 이번 시간부터는 미분방정식을 푸는 데 있어 중요한 도구 중에 하나인 라플라스 변환에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 오늘은 라플라스 변환이 무엇인지부터 알아보도록 하겠습니다. 물론 바로 라플라스 변환이 무엇이라고 하기에는 조금 설명하기 어려운 부분이 있습니다. 따라서 몇 가지 설명을 보충한 뒤에 마지막에 추가하도록 하겠습니다. 먼저, 특이적분(improper integral)입니다. 미적분학을 배우셨거나 해석학을 깊게 공부하신 분들은 쉽게 아실 거라고 생각합니다. 특이적분은 정적분에서 확장된 실수의 윗 끝과 아랫 끝을 가지고 있는 적분입니다. 즉, 적분의 윗 끝이나 아랫..
