선형대수학 - 유니터리 행렬과 직교 행렬

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 유니터리 연산과 직교 연산에서는 연산 전후의 벡터의 노름이 유지되는 선형연산자인 유니터리 연산 (복소내적공간) 및 직교 연산 (실내적공간)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 이를 행렬의 관점에서 보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 유니터리 행렬 (Unitary Matrix)과 직교 행렬 (Orthogonal Matrix)

정사각행렬 $A$가 $A^{*}A = AA^{*} = I$를 만족하면 유니터리 행렬 (Unitary Matrix), 그리고 $A^{t}A = AA^{t} = I$를 만족하면 직교 행렬 (Orthogonal Matrix)라고 한다. 

 

A square matrix $A$ is called an unitary if $A^{*}A = AA^{*} = I$ and orthogonal if $A^{t}A = AA^{t} = I$.

 

설명

기본적으로 유니터리 연산 및 직교 연산은 벡터의 노름을 보존할 수 있는 선형연산자로 소개하였습니다. 이때, 선형대수학 - 유니터리 연산과 직교 연산의 정리1.(a)에 의해 $T$가 유니터리 연산이라면 $T^{*}T = TT^{*} = I$를 만족한다는 것을 보였습니다. 

 

 정의2. 유니터리 동등 (Unitary Equivalent) 또는 직교 동등 (Orthogonal Equivalent)

두 유니터리 (직교) 행렬 $A$와 $B$가 유니터리 (직교) 동등이기 위해서는 $A = P^{*}BP$를 만족하는 유니터리 (직교) 행렬 $P$가 존재해야한다. 

 

$A$ and $B$ are unitary (orthogonal) equivalent if there exists an unitary (orthogonal) matrix such that $A = P^{*}BP$.

 

 정리1

행렬 $A$를 $n \times n$ 크기의 복소행렬이라고 하자. 그러면 행렬 $A$가 정규 행렬인 것은 행렬 $A$가 대각행렬과 유니터리 동등인것과 동치이다. 

 

설명

사실 정의2가 중요한 이유는 정리1 때문에 그렇습니다. 행렬 $A$가 정규행렬이기만 하면 대각행렬 $D$를 중심으로 어떤 유니터리 행렬 $P$를 통해 $A = P^{*}DP$의 형태로 분해할 수 있기 때문입니다. 앞으로 이와 같은 구조의 행렬분해를 자주 접하실겁니다. 

 

Proof)

1). ($\Rightarrow$) To Be Proved...

 

2). ($\Leftarrow$)

행렬 $A$가 어떤 대각행렬 $D$와 유니터리 동등을 이룬다고 가정하면 $A = P^{*}DP$를 만족하는 유니터리 행렬 $P$가 존재한다. 이때, 행렬 $A$가 정규 행렬임을 보이기 위해 $A^{*}A = AA^{*}$를 만족함을 상기하자. 따라서, 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A^{*}A &= (P^{*}DP)^{*}(P^{*}DP) \\ &= (P^{*}D^{*}P)(P^{*}DP) \\ &= P^{*}D^{*}DP \end{align*}$$

 

$$\begin{align*} AA^{*} &= (P^{*}DP)(P^{*}DP)^{*} \\ &= (P^{*}DP)(P^{*}D^{*}P) \\ &= P^{*}DD^{*}P \end{align*}$$

 

이때, $D$는 대각행렬이므로 $DD^{*} = D^{*}D$이다. 따라서, $A^{*}A = AA^{*}$이므로 행렬 $A$는 정규행렬이다. 

 

 정리2

행렬 $A$를 $n \times n$ 크기의 실행렬이라고 하자. 그러면 행렬 $A$가 대칭 행렬인 것은 행렬 $A$가 대각행렬과 직교 동등인것과 동치이다. 

 

설명

정리2는 정리1과 유사하기 때문에 증명은 생략하도록 하겠습니다. 이번에는 간단한 예시를 통해 실제로 대칭행렬이 주어졌을 때 직교 동등한 대각행렬과 이를 만족하는 직교행렬을 구해보도록 하겠습니다. 먼저 다음과 같은 행렬 $A$가 있다고 가정하겠습니다. 

 

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$

 

보시면 $A^{t} = A$이기 때문에 행렬 $A$는 대칭행렬임을 알 수 있습니다. 따라서, 정리2에 의해 행렬 $A$는 대각행렬 $D$와 직교 동등입니다. 이제 저희는 행렬 $A$가 직교 동등이 됨을 확인했기 때문에 정의1에 의해 $A = P^{t}DP$를 만족하는 직교 행렬 $P$와 대각행렬 $D$를 찾아야합니다. 

 

일단, $P$를 찾아보도록 하겠습니다. 이를 위해서 고유벡터로 이루어진 정규 직교기저를 찾아야합니다. 기본적으로 행렬 $A$의 고유값은 2와 8인 것을 알 수 있습니다. 그리고 2에 대응되는 고유벡터는 $\{ (-1, 1, 0), (-1, 0, 1) \}$입니다. 하지만, 이 집합은 현재 직교가 아니기 때문에 선형대수학 - 그람-슈미트 과정의 정리1(그람-슈미트 과정)을 적용하여 직교집합 $\{ (-1, 1, 0), -\frac{1}{2} (1, 1, -2) \}$를 얻을 수 있습니다. 그리고 $\{ (1, 1, 1) \}$은 고유값 8에 대응되는 고유벡터입니다. 여기서 $(1, 1, 1)$은 고유값 2에 대응되는 두 직교기저와도 직교합니다. 그러면 두 집합의 합집합과 함께 정규화를 통해 행렬 $A$의 고유벡터로 이루어진 $\mathbb{R}^{3}$의 정규 직교기저를 얻을 수 있습니다. 

 

$$\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (-1, 1, 0), \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 1, -2), \frac{1}{\sqrt{3}} (1, 1, 1) \}$$

 

따라서, 직교행렬 $P$를 다음과 같이 정할 수 있습니다. 

 

$$P = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$$

 

직교행렬 $P$를 구했다면 대각행렬 $D$를 구하는 것은 아주 간단해집니다. 왜냐하면 $A = P^{t}DP$이기 때문에 $D = P^{t}AP$이므로 두 행렬 $A$와 $P$를 대입하기만 하면 됩니다.

 

$$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

 

오늘은 유니터리 행렬과 직교 행렬에 대해서 알아보았습니다. 이를 통해, 유니터리 동등 및 직교 동등까지 알아보았죠. 또한, 정리1과 정리2에 의해 특정 조건이 만족하면 행렬 $A$를 유니터리 및 직교 행렬 $P$를 통해 대각행렬 $D$로 분해할 수 있다는 것까지 증명하였습니다. 다음 포스팅에서는 실제로 직교 연산들의 다양한 예시들에 대해서 알아보도록 하겠습니다.