선형대수학 - 슈어 정리

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 최소제곱법에서는 수반연산을 기반으로 $m$개의 데이터에 대해 최적화하는 선형 모델을 찾을 수 있는 최소제곱법에 대해서 설명드렸습니다. 오늘도 여전히 내적공간 사이의 관계를 정의하는 선형 연산자의 성질에 대해서 탐구할 예정입니다. 다만, 관심을 살짝 바꾸어 직교성과 고유벡터 사이의 관계를 알아보도록 하겠습니다. 이를 위해 가장 중요한 정리인 슈어 정리 (Schur Theorem)을 설명하도록 하겠습니다.

 

기본적으로 앞으로 저희가 목표로 둘 것은 $V$가 내적공간이라고 할 때 $V$의 고유벡터가 정규직교 기저를 구성할 수 있는 조건을 찾는 것 입니다. 이를 확인하기 위한 첫번째 단계가 바로 슈어 정리 입니다. 다만, 이 정리를 증명하기 위해서는 간단한 보조정리가 하나 필요합니다. 

 

 보조정리1

$T$를 유한차원을 가지는 내적공간 $V$ 상에서 정의된 선형연산자라고 하자. 만약 $T$가 고유벡터를 가지고 있다면 $T$의 수반연산인 $T^{*}$ 역시 가지고 있다. 

 

Proof)

먼저, $v$를 선형연산자 $T$의 고유값 $\lambda$에 대응되는 고유벡터라고 하자. 그러면, 고유벡터의 정의와 내적의 성질로 인해 임의의 $x \in V$에 대해서 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} 0 &= \langle 0, x \rangle \\ &= \langle (T - \lambda I) (v), x \rangle \\ &= \langle v, (T - \lambda I)^{*} (x) \rangle \\ &= \langle v, (T^{*} - \overline{\lambda} I) (x) \rangle \end{align*}$$

 

따라서, 벡터 $v$는 $T^{*} - \overline{\lambda} I$의 치역 공간에 직교한다. 이는 치역 공간과 공역 공간이 다르다는 것을 의미하기 때문에 $T^{*} - \overline{\lambda} I$는 전사변환이 아니다. 이러한 결과는 선형대수학 - 선형변환, 영 공간, 치역의 정리5에 의해 $T^{*} - \overline{\lambda} I$가 단사변환이 아니라는 결론도 얻을 수 있다. 따라서, $T^{*} - \overline{\lambda} I$는 영벡터가 아닌 어떤 벡터 $x_{0}$가 영 공간에 포함되고 이는 $(T^{*} - \overline{\lambda} I) (x_{0}) = 0$임을 의미하므로 $x_{0}$가 $T^{*}$의 고유값 $\overline{\lambda}$에 대응되는 고유벡터임이 증명된다. 

 

 정리1. 슈어 정리 (Schur Theorem)

$T$를 유한차원을 가지는 내적공간 $V$ 상에서 정의된 선형연산자라고 하자. 그리고 선형연산자 $T$의 특성방정식이 분해가능하다고 가정하자. 그러면 $\beta$에 대한 선형연산자 $T$의 행렬표현인 $[T]_{\beta}$가 상삼각행렬로 구성되는 내적공간 $V$의 정규직교 기저 $\beta$가 존재한다. 

 

설명

슈어 정리는 기본적으로 선형연산자를 단순한 상삼각행렬로 표현할 수 있게 만들어주는 정리 입니다. 슈어 정리 증명의 핵심은 크게 3가지 입니다. 먼저 가장 기본이 되는 개념은 선형대수학 - 직교여공간의 정의1입니다. 다음으로 선형대수학 - 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리의 정의1 입니다. 두 정의를 적절하게 활용하여 수학적 귀납법으로 증명하는 것이 기본 갈래 입니다. 

 

Proof)

내적공간 $V$의 차원 $n$에 대한 수학적 귀납법을 통해 증명한다. 

 

1). $n = 1$인 경우 1차원 내적공간이기 때문에 자명하다.

 

2). $(n - 1)$ 차원의 내적공간 $V$ 상에서 정의된 선형연산자에 대해 슈어 정리가 성립한다고 가정하자. 이때, 선형연산자의 특성방정식의 분해가능하다. 

 

3). 마지막으로 $n$ 차원의 내적공간 $V$에 대한 증명을 진행한다. 이를 위해, 이전에 증명한 보조정리1을 이용한다. 선형연산자 $T$의 특성방정식이 가정에 의해 분해가능하기 때문에 고유벡터가 존재한다. 이는 보조정리1에 의해 $T$의 수반연산자인 $T^{*}$ 역시 고유벡터가 존재함을 의미하고 이는 특성방정식이 분해가능하다는 것을 알 수 있다. 따라서, $T^{*}$가 고유값 $\lambda$에 대응되는 단위 고유벡터 $z$가 있다고 가정하자. 그리고 $T^{*}(z) = \lambda z$ 그리고 $W = \text{span} (\{ z \})$라고 가정하자. 이제, 우리는 $W$의 직교여공간인 $W^{\perp}$가 $T$-불변공간임을 증명한다. 

 

Claim) $W^{\perp}$는 $T$-불변공간이다. 

 

직교여공간과 $T$-불변공간의 정의에 의해 두 벡터 $y \in W^{\perp}$와 $x = cz \in W$를 선택하면 다음과 같이 식을 정리할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \langle T(y), x \rangle &= \langle T(y), cz \rangle \\ &= \langle y, T^{*}(cz) \rangle \\ &= \langle y, c T^{*}(z) \rangle \\ &= \langle y, c (\lambda z) \rangle \\ &= \overline{c \lambda} \langle y, z \rangle \\ &= \overline{c \lambda} \cdot 0 = 0 \end{align*}$$

 

이는 임의의 벡터 $y \in W^{\perp}$에 대해서 $T(y)$ 역시 벡터 $x \in W$에 직교하므로 $T(y) \in W^{\perp}$임을 의미하므로 $W^{\perp}$가 $T$-불변공간임을 의미한다. 

 

이때, 선형대수학 - 직교여공간의 정리2.(c)에 의해 $\text{dim} (W^{\perp}) = n - 1$이 됨을 주목하자. 우리는 수학적 귀납법에 의해 $(n - 1)$ 차원의 내적공간에서는 슈어 정리가 성립함을 가정하였다. 따라서, 우리는 $(n - 1)$ 차원을 가지는 $W^{\perp}$ 상에서 정의된 선형연산 $T_{W^{\perp}}$에 수학적 귀납법을 적용하도록 한다. 그러면 슈어 정리에 의해 $\gamma$에 대한 선형연산자 $T_{W^{\perp}}$의 행렬표현인 $[T_{W^{\perp}}]_{\gamma}$가 상삼각행렬로 구성되는 내적공간 $W^{\perp}$의 정규직교 기저 $\gamma$가 존재한다. 여기서, $z \in W$는 $W$의 직교여공간 $W^{\perp}$에 모두 직교하기 때문에 $\beta = \gamma \cup \{ z \}$라고 하면 선형대수학 - 직교여공간의 정리2.(a)에 의해 $V$의 정규직교 기저이므로 $[T]_{\beta}$가 상삼각행렬이 된다. 

 

오늘은 간단하게 슈어 정리에 대해서 알아보았습니다. 하지만, 정리의 결론을 보면 정규직교 기저 $\beta$에 대한 내용만 하고 있고 저희가 최종적으로 원하는 고유벡터에 대한 내용은 없습니다. 다음 포스팅에서는 슈어 정리를 기반으로 저희의 최종목표인 $V$의 고유벡터가 정규직교 기저를 구성할 수 있는 조건을 설계할 수 있는 방법에 대해서 말씀드리도록 하겠습니다.