선형대수학 - 자기수반 연산과 에르미트 연산

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 정규연산에서는 유한차원의 복소내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$의 고유벡터가 $V$의 정규 직교기저가 될 수 있는 조건인 정규성 (Normality)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 복소내적공간에서 실내적공간으로 범위를 바꾸었을 때 선형연산자 $T$의 고유벡터가 $V$의 정규 직교기저가 될 수 있는 조건에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 정의1. 자기수반 연산 및 에르미트 연산 (Self-Adjoint Operator and Hermitian Operator)

$T$를 내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 이때, 선형연산자 $T$의 수반연산자 $T^{*}$에 대해서 $T = T^{*}$를 만족하면 $T$를 자기수반 연산 및 에르미트 연산 (Self-Adjoint Operator and Hermitian Operator)이라고 한다. 또한, $n \times n$ 크기를 가지는 임의의 행렬에 대해서 $A = A^{*}$를 만족하면 $A$를 자기수반 행렬 및 에르미트 행렬 (Self-Adjoint Matrix and Hermitian Matrix) 이라고 한다. 

 

Let $T$ be a linear operator on an inner product space $V$. We say that $T$ is self-adjoint (Hermitian) if $T = T^{*}$. An $n \times n$ real or complex matrix $A$ is self-adjoint (Hermitian) if $A = A^{*}$.

 

설명

선형대수학 - 수반연산자에서 말씀드렸다 싶이 행렬의 수반행렬을 구하는 방법은 전치행렬 + 켤레복소수를 적용하는 것 입니다. 그런데 실행렬인 경우에는 켤레복소수를 적용해도 값이 동일하기 때문에 전치행렬만 적용해도 수반행렬을 얻을 수 있습니다. 따라서, 실공간에서 행렬 $A$가 자기수반 행렬 또는 에르미트 행렬이 되기 위한 조건은 $A = A^{t}$로 이는 곧 행렬 $A$가 대칭행렬 (Symmetric Matrix)가 되어야하는 것과 동일한 말임을 알 수 있습니다. 저희는 최종적으로 $T$가 에르미트 연산자라는 사실이 고유벡터가 $V$의 정규 직교기저가 된다는 사실에 동치임을 증명하고 싶습니다. 이를 위해, 아래의 보조정리를 먼저 증명하도록 하겠습니다. 

 

 보조정리1

$T$를 유한차원의 내적공간 $V$에서 정의된 자기수반 선형연산자라고 하자. 그러면 다음 명제가 성립한다. 

 

(a). 선형연산자 $T$의 모든 고유값은 실수이다. 

(b). $V$가 실내적공간이라고 가정하면 선형연산자 $T$의 특성다항식은 분해가능하다. 

 

Proof)

(a). $x \neq 0$에 대해서 $T(x) = \lambda x$라고 가정하자. 이때, $T$가 자기수반 연산이기 때문에 정규 연산이기도 하다. 따라서, 선형대수학 - 정규 연산의 정리1.(c)에 의해 $x$는 선형연산자 $T$의 고유벡터이기 때문에 $x$는 선형연산자 $T$의 수반연산자 $T^{*}$의 고유벡터이기도 하다. 또한, 증명과정에서 수반연산자 $T^{*}$의 고유벡터 $x$에 대응되는 고유값은 $\overline{\lambda}$라는 결과를 얻을 수 있기 때문에 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. 

 

$$\lambda x = T(x) = T^{*}(x) = \overline{\lambda} x$$

 

이때, $x$가 영벡터가 아니기 때문에 $\lambda = \overline{\lambda}$로 두 복소수의 켤레복소수가 동일하기 때문에 $\lambda$는 실수이다. 

 

(b). $n = \text{dim} (V)$ 그리고 $\beta$를 내적공간 $V$의 정규직교 기저라고 하자. 또한, $A = [T]_{\beta}$라고 하면 $A$는 자기수반 행렬이다. 여기서, 임의의 벡터 $x \in \mathbb{C}^{n}$에 대해서 $T_{A} (x) = Ax$를 $n$차원의 복소공간 $\mathbb{C}^{n}$에서 정의된 선형연산자라고 가정하자. 이때, $\gamma$를 $\mathbb{C}^{n}$의 표준 순서 정규직교 기저라고 할 때 $[T_{A}]_{\gamma} = A$이기 때문에 $T_{A}$는 자기수반 연산자이다. 따라서, (a)에 의해 $T_{A}$의 고유값은 모두 실수이다. 한편, 대수학의 기본정리에 의해 $T_{A}$의 특성다항식은 $t - \lambda$의 형태로 분해될 수 있다. 그리고 각각의 고유값인 $\lambda$는 모두 실수이기 때문에 실수공간 $\mathbb{R}$ 상에서 특성다항식은 분해가능하다. 하지만, $T_{A}$는 행렬 $A$와 동일한 특성다항식을 가지고 있으며 이는 $T$의 특성다항식과도 동일하기 때문에 $T$의 특성다항식 역시 분해가능하다. 

 

 정리1

$T$를 유한차원의 실내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 그러면 $T$가 자기수반 연산자인 것은 $V$의 정규직교 기저가 $T$의 고유벡터로 이루어지는 것과 동치이다. 

 

설명

정리1가 오늘의 핵심입니다. 이를 기반으로 저희는 복소공간에서는 정규성, 실공간에서는 자기수반성을 만족하면 $V$의 정규직교 기저가 $T$의 고유벡터로 이루어지는 것과 동치라는 것을 알 수 있습니다. 증명은 동치성을 보여야하기 때문에 양방향 증명을 수행합니다. 또한, 보조정리1과 선형대수학 - 슈어 정리의 정리1 (슈어 정리)를 활용하기 때문에 숙지하시길 바랍니다. 

 

Proof)

1). ($\Rightarrow$) $T$를 자기수반 선형연산자라고 가정하자. 보조정리1에 의해 $T$의 특성다항식은 분해가능하므로 선형대수학 - 슈어 정리의 정리1 (슈어 정리)에 의해 $A = [T]_{\beta}$가 상삼각행렬을 이루는 $V$의 정규직교 기저 $\beta$를 얻을 수 있다. 이때, $T$가 자기수반 행렬이기 때문에 다음 식을 정리할 수 있다. 

 

$$A^{*} = [T]_{\beta}^{*} = [T^{*}]_{\beta} = [T]_{\beta} = A$$

 

이때, $A = A^{*}$이고 두 행렬 모두 상삼각행렬이므로 이를 만족하기 위해서는 $A$가 대각행렬이여야만 한다. 따라서, $\beta$는 선형연산자 $T$의 고유벡터로 이루어져있다. 

 

2). ($\Leftarrow$) To Be Proved...

 

지금까지 저희는 복소 및 실수로 한정했을 때 내적공간의 정규직교 기저가 $T$의 고유벡터로 이루어질 수 있는 조건인 정규성 (Normality) 및 자기수반 (Self-Adjoint)에 대해서 알아보았습니다. 이를 통해, 저희는 내적공간에서 정의된 선형 연산자의 고유벡터에 대한 특성을 더욱 자세히 이해할 수 있었습니다. 다음 포스팅에서도 선형 연산자에 대해서 다룰 예정입니다. 하지만, 새로운 개념을 도입해보고자 합니다. 연산 전의 벡터의 노름과 연산 후의 벡터의 노름이 동일한 선형 연산자는 어떤 특성을 가지는 지 알아보도록 하죠.