선형대수학 - 유니터리 연산과 직교 연산

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 자기수반 연산과 에르미트 연산에서는 실내적공간의 정규 직교기저가 선형연산자의 고유벡터로 이루어지기 위한 조건인 자기수반 연산 또는 에르미트 연산이라는 것에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 연산 전의 벡터의 노름의 크기를 보존하는 선형연산자의 특성에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

본격적으로 진행하기에 앞서 직관적으로 벡터의 노름을 "보존"하는 기하학적인 연산에는 무엇이 있을까요? 가장 대표적인 예시로는 회전 (rotation)과 반사 (reflection)이겠네요. 두 연산은 모두 벡터의 노름은 보존하기 때문에 저희가 앞으로 관심있게 봐야할 기하학적 연산이 될 것 입니다. 이러한 연산을 수학적으로 일반화시켜 표현하면 다음과 같은 정의를 생각해볼 수 있습니다. 

 

 정의1. 유니터리 연산 (Unitary Operator)과 직교 연산 (Orthogonal Operator)

$T$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서 유한차원의 내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 이때, 임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 $\lVert T(x) \rVert = \lVert x \rVert$를 만족하면 $T$를 유니터리 연산 (Unitary Operator) ($\mathbf{F} = \mathbb{C}$) 또는 직교 연산 (Orthogonal Operator) ($\mathbf{F} = \mathbb{R}$)이라고 한다. 

 

Let $T$ be a linear operator on a finite-dimensional inner product space $V$ over $\mathbf{F}$. If $\lVert T(x) \rVert = \lVert x \rVert$, then we call $T$ a unitary operator if $\mathbf{F} = \mathbb{C}$ and an orthogonal operator if $\mathbf{F} = \mathbb{R}$.

 

설명

정의에 앞서 저희는 벡터의 노름을 "보존"하는 연산에 대해서 생각해보았습니다. 이를 수학적으로 표기하면 $\lVert T(x) \rVert = \lVert x \rVert$라고 쓸 수 있겠죠. 또한, 유니터리 연산 및 직교 연산은 각각 복소내적공간 및 실내적공간에서 정의되는 개념으로 사실 두 연산 모두 벡터의 노름을 보존하는 연산자라는 것을 알 수 있습니다. 따라서, 저희는 아까 예시로 들었던 회전 및 반사도 실내적공간에서 정의되었기 때문에 직교 연산이라고 할 수 있습니다. 이제 유니터리 연산의 예시를 들어보도록 하겠습니다. 임의의 $x$에 대해서 $| h(x) | = 1$을 만족하는 함수 $h \in H$를 선택하겠습니다. 이제 함수공간 $H$에서 정의된 선형연산자 $T(f) = hf$가 유니터리 연산임을 증명하기 위해 다음과 같이 정의를 활용할 수 있습니다. 

 

$$\begin{align*} \lVert T(f) \rVert^{2} &= \lVert hf \rVert^{2} \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} (h(t)f(t)) \overline{h(t)f(t)} \; dt \end{align*}$$

 

이때, 가정에 의해 $|h(t)|^{2} = 1$이기 때문에 $\lVert T(f) \rVert^{2} = \lVert f \rVert^{2}$입니다. 따라서, $T$는 유니터리 연산임을 알 수 있죠. 이번에는 유니터리 연산 및 직교 연산에서 자주 활용되는 정리를 말씀드리기 전에 간단한 보조정리를 소개하고 증명해보도록 하겠습니다. 

 

 보조정리1

$U$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서 유한차원의 내적공간 $V$에서 정의된 정규 선형연산자라고 하자. 임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 $\langle x, U(x) \rangle = 0$이면 $U = T_{0}$이다. 즉, 모든 $x \in V$에 대해서 $U(x) = 0$이다. 

 

Proof)

$U$가 정규 선형연산자이기 때문에 에르미트 선형연산자이기도 하다. 따라서, 선형대수학 - 정규 연산의 정리2와 선형대수학 - 자기수반 연산과 에르미트 연산의 정리1에 의해 $U$의 고유벡터로 이루어진 내적공간 $V$의 정규 직교기저 $\beta$를 선택할 수 있다. 그러므로 $x \in \beta$에 대해서 고유벡터 $x$에 대응되는 고유값 $\lambda$에 대해서 $U(x) = \lambda x$를 만족한다. 따라서, $0 = \langle x, U(x) \rangle = \langle x, \lambda x \rangle = \overline{\lambda} \langle x, x \rangle$이다. 이때, $\overline{\lambda} \neq 0$이기 때문에 임의의 벡터 $x$에 대해서 $U(x) = 0$이다. 따라서, $U = T_{0}$이다. 

 

 정리1

$T$를 유한차원의 내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 그러면 다음 명제들은 동치이다. 

 

(a). $TT^{*} = T^{*}T = I$

(b). 임의의 두 벡터 $x, y \in V$에 대해서 $\langle T(x), T(y) \rangle = \langle x, y \rangle$를 만족한다. 

(c). $\beta$가 내적공간 $V$의 정규 직교기저라고 하면 $T(\beta)$ 역시 내적공간 $V$의 정규 직교기저이다. 

(d). $T(\beta)$가 내적공간 $V$의 정규 직교기저가 되는 내적공간 $V$의 정규 직교기저 $\beta$가 존재한다. 

(e). 임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 $\lVert T(x) \rVert = \lVert x \rVert$를 만족한다. 

 

설명

위 5개의 명제 (a) ~ (e)들은 모두 동치명제입니다. 따라서 정리1의 증명은 (a)부터 (e)까지 연쇄적으로 해야합니다. 

 

Proof)

1). (a) $(\Rightarrow)$ (b)

임의의 두 벡터 $x, y \in V$를 선택하자. 그러면 다음과 같이 식을 정리할 수 있다. 

 

$$\langle x, y \rangle = \langle T^{*}T(x), y \rangle = \langle T(x), T(y) \rangle$$

 

따라서, (b)가 증명된다. 

 

2). (b) $(\Rightarrow)$ (c)

$\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$이 내적공간 $V$의 정규 직교기저라고 하자. 그러면 $T(\beta) = \{ T(v_{1}), \dots, T(v_{n}) \}$이다. 이때, (b)에 의해 임의의 두 인덱스 $1 \le i, j \le n$에 대해 $\langle T(v_{i}), T(v_{j}) \rangle = \delta_{ij}$이다. 여기서, $T(\beta)$가 내적공간 $V$의 기저임은 이전에 증명하였으므로 $\langle T(v_{i}), T(v_{j}) \rangle = \delta_{ij}$에 의해 $T(\beta)$는 내적공간 $V$의 정규 직교기저가 된다. 

 

3). (c) $(\Rightarrow)$ (d)

To Be Proved...

 

4). (d) $(\Rightarrow)$ (e)

임의의 벡터 $x \in V$를 선택하고 $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$를 내적공간 $V$의 정규직교 기저라고 하자. 그러면 어떤 스칼라 $a_{i} \in \mathbf{F}$에 대해서 $x = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}v_{i}$라고 쓸 수 있다. 따라서, 다음과 같이 식을 정리할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \lVert x \rVert^{2} &= \langle x, x \rangle \\ &= \langle \sum_{i = 1}^{n} a_{i}v_{i}, \sum_{j = 1}^{n} a_{j}v_{j} \rangle \\ &= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i}\overline{a_{j}} \langle v_{i}, v_{j} \rangle \\ &= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i}\overline{a_{j}} \delta_{ij} \\ &= \sum_{i = 1}^{n} |a_{i}|^{2} \end{align*}$$

 

이때, $\beta$가 정규 직교기저이기 때문에 (d)에 의해 $T(\beta)$ 역시 내적공간 $V$의 정규직교 기저이므로 $T(x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} T(v_{i})$에 대해서 위 전개와 동일한 방식으로 진행할 수 있다. 따라서, $\lVert T(x) \rVert^{2} = \sum_{i = 1}^{n} |a_{i}|^{2} = \lVert x \rVert^{2}$이다. 

 

5). (e) $(\Rightarrow)$ (a)

임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 (e)에 의해 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \langle x, x \rangle &= \lVert x \rVert^{2} \\ &= \lVert T(x) \rVert^{2} \\ &= \langle T(x), T(x) \rangle \\ &= \langle x, T^{*}T(x) \rangle \end{align*}$$

 

따라서, 임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 $\langle x, T^{*}T(x) \rangle - \langle x, x \rangle = \langle x, (I - T^{*}T)(x) \rangle = 0$이다. 이제, $U = I - T^{*}T$라고 하면 $U$는 정규 선형연산자이다. 따라서, 보조정리1에 의해 $T_{0} = U = I - T^{*}T$이므로 $T^{*}T = I$이다. 

 

 따름정리1-1

$T$를 유한차원의 실내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 그러면 $V$가 고유값의 절댓값이 1에 대응되는 $T$의 고유벡터로 이루어진 정규 직교기저를 가지는 것과 $T$가 정규 선형연산자이면서 직교 연산자인 것은 동치이다. 

 

Proof)

1). ($\Rightarrow$)

$V$가 모든 $i$에 대해서 $| \lambda_{i} | = 1$과 $T(v_{i}) = \lambda_{i} v_{i}$를 만족하는 정규 직교기저 $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$을 가진다고 가정하자. 정리1에 의해 $T$는 정규 연산자이다. 또한, 모든 $i$에 대해서 $(TT^{*}) (v_{i}) = T(\lambda_{i} v_{i}) = \lambda_{i} \lambda_{i} v_{i} = \lambda_{i}^{2} v_{i} = v_{i}$이다. 따라서, $TT^{*} = I$이므로 $T$는 직교 연산이다. 

 

2). ($\Leftarrow$)

$T$가 정규 연산자라고 하면 정리1에 의해 $V$는 모든 $i$에 대해서 $T(v_{i}) = \lambda_{i} v_{i}$임을 만족하는 정규 직교기저 $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$를 가진다. 만약, $T$가 직교 연산이라면 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. 

 

$$|\lambda_{i}| \lVert v_{i} \rVert = \lVert \lambda_{i} v_{i} \rVert = \lVert T(v_{i}) \rVert = \lVert v_{i} \rVert$$

 

따라서, 모든 $i$에 대해서 $|\lambda_{i}| = 1$이다. 

 

 따름정리1-2

$T$를 유한차원의 복소내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 그러면 $V$가 고유값의 절댓값이 1에 대응되는 $T$의 고유벡터로 이루어진 정규 직교기저를 가지는 것과 $T$가 유니터리 연산자인 것은 동치이다. 

 

오늘은 지금까지 보았던 정규 연산 및 에르미트 연산에 이어 벡터의 노름을 보존하는 연산인 유니터리 연산 및 직교 연산에 대해서 알아보았습니다. 다음 포스팅에서는 이를 행렬에 대한 정리에 대해서 알아보고 예시 연산들에 대해서 정리해보도록 하겠습니다.