선형대수학 - 정규 연산

안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 슈어정리에서는 선형연산자 $T$의 행렬표현인 $[T]_{\beta}$를 상삼각행렬로 만들 수 있는 내적공간 $V$의 정규직교 기저 $\beta$의 존재성에 대한 내용인 슈어정리에 대해서 다루었습니다. 하지만, 여전히 저희는 고유벡터가 정규직교 기저를 구성할 수 있게 만들 수 있는 조건에 대해서 이야기하지 않았습니다. 오늘은 본격적으로 이를 위한 조건에 대해서 말씀드리겠습니다. 

 

다시 지난 포스팅의 최종목표를 상기하자면 $V$가 유한 차원을 가지는 내적공간이라고 할 때 $V$의 고유벡터가 정규직교 기저를 구성할 수 있는 조건을 찾는 것 입니다. 일단, $V$의 정규직교 기저 $\beta$기 존재한다고 가정하겠습니다. 그러면 $[T]_{\beta}$는 기본적으로 대각행렬로 구성되기 때문에 $[T^{*}]_{\beta} = [T]_{\beta}^{*}$ 역시 대각행렬이 됩니다. 이때, 대각행렬은 교환법칙이 성립한다는 점을 아신다면 $T$와 $T^{*}$ 모두 교환법칙이 성립하게 됩니다. 이러한 결과는 $V$가 $T$의 고유벡터로 정규직교 기저 $\beta$를 가진다고 가정하면 $TT^{*} = T^{*}T$를 만족하는 것을 알 수 있습니다. 

 

 정의1. 정규 연산 (Normal Operator)

$V$를 내적공간 그리고 $T$를 내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 가정하자. 이때, $T$가 수반연산자 $T^{*}$와 함께 $TT^{*} = T^{*}T$를 만족하면 $T$를 정규 연산 (Normal Operator)라고 부른다. 또한, 행렬 $n \times n$ 크기의 행렬 $A$에 대해서도 수반행렬 $A^{*}$과 함께 $AA^{*} = A^{*}A$를 만족하면 $A$를 정규 행렬 (Normal Matrix)라고 부른다. 

 

Let $V$ be an inner product space and let $T$ be a linear operator on $V$. We say that $T$ is normal if $TT^{*} = T^{*}T$. An $n \times n$ matrix $A$ is normal if $AA^{*} = A^{*}A$.

 

설명

정규 연산 및 행렬은 저희의 목표였던 고유벡터가 정규직교 기저를 만족할 수 있도록 할 수 있는 연산자 $T$ 또는 행렬 $A$의 조건이라고 생각하시면 됩니다. 두 가지 대표적인 정규 연산의 예시를 보여드리도록 하겠습니다. 먼저, 연산 $T : \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$를 $0 < \theta < \pi$만큼 회전시키는 기하연산이라고 가정하겠습니다. 기본적으로 회전 연산에 대한 행렬표현은 $\mathbb{R}^{2}$의 순서기저에 의해 다음과 같이 만들 수 있습니다. 

 

$$A = \begin{pmatrix} \cos (\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

 

따라서, $AA^{*} = A^{*}A = I$를 만족하는 것을 볼 수 있죠. 따라서, $T$는 정규연산입니다. 다른 예시로는 행렬 $A$가 비대칭행렬 (skew-symmetric matrix)라고 가정하면 $A^{t} =  -A$를 만족하게 됩니다. 그러면 $AA^{t} = - A^{2} = A^{t}A$이기 때문에 $A$는 정규행렬이죠. 

 

자 그렇다면 다시 돌아가서 정규 연산 또는 정규 행렬이라면 항상 고유벡터가 내적공간의 정규직교 기저를 만족할까요? 아쉽게도 이는 보장할 수 없습니다. 대표적으로 회전연산은 실공간에서 고유벡터가 하나도 존재하지 않습니다. 이를 위해서는 복소내적공간에서 증명을 해보아야합니다. 

 

 정리1

$V$를 내적공간 그리고 $T$를 $V$에서 정의된 정규 연산이라고 하자. 그러면 다음 명제들은 참이다.

 

(a). 임의의 벡터 $x \in V$에 대해서 $\lVert T(x) \rVert = \lVert T^{*}(x) \rVert$이다. 

(b). 임의의 스칼라 $c \in \mathbf{F}$에 대해서 $T - cI$는 정규 연산이다. 

(c). $x$가 선형연산자 $T$의 고유벡터라고 하면 $x$는 선형연산자 $T$의 수반연산자 $T^{*}$의 고유벡터이기도 하다. 

(d). $\lambda_{1}$과 $\lambda_{2}$가 선형연산자 $T$의 두 고유벡터 $x_{1}$와 $x_{2}$에 대응되는 서로 다른 고유값이면 $x_{1}$와 $x_{2}$는 정규직교이다. 

 

설명

정리1은 정규성과 고유벡터 및 고유값에 대한 관계성을 설명해주고 있기 때문에 다음 포스팅에서 활용되니 숙지하시면 좋을 거 같습니다. 각 명제의 증명은 선형연산자의 정규성의 정의를 이용하면 쉽게 증명됩니다. 

 

Proof)

(a). 임의의 벡터 $x \in V$를 선택하면 다음과 같이 $\lVert T(x) \rVert$를 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \lVert T(x) \rVert^{2} &= \langle T(x), T(x) \rangle \\ &= \langle T^{*}T(x), x \rangle \\ &= \langle TT^{*} (x), x \rangle \\ &= \langle T^{*} (x), T^{*} (x) \rangle = \lVert T^{*}(x) \rVert^{2} \end{align*}$$

 

따라서,  $\lVert T(x) \rVert = \lVert T^{*}(x) \rVert$이다. 

 

(b). To Be Proved...

 

(c). 어떤 벡터 $x \in V$에 대해서 $T(x) = \lambda x$를 만족한다고 하자. 그리고 $U = T - \lambda I$라면 $U$는 (b)에 의해 정규 선형연산자이다. 또한, (a)에 의해 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} 0 &= \lVert U(x) \rVert \\ &= \lVert U^{*}(x) \rVert \\ &= \lVert (T^{*} -\overline{\lambda}I)(x) \rVert \\ &= \lVert T^{*}(x) - \overline{\lambda} x \rVert \end{align*}$$

 

따라서, $T^{*}(x) = \overline{\lambda} x$이기 때문에 $x$는 선형연산자 $T$의 수반연산자 $T^{*}$의 고유벡터이다. 

 

(d). $\lambda_{1}$과 $\lambda_{2}$가 선형연산자 $T$의 두 고유벡터 $x_{1}$와 $x_{2}$에 대응되는 서로 다른 고유값이라고 하자. 그러면 (c)에 의해 다음과 같이 식을 전개할 수 있다. 

 

$$\begin{align*} \lambda_{1} \langle x_{1}, x_{2} \rangle &= \langle \lambda_{1} x_{1}, x_{2} \rangle \\ &= \langle T(x_{1}), x_{2} \rangle \\ &= \langle x_{1}, T^{*}(x_{2}) \rangle \\ &= \langle x_{1}, \overline{\lambda_{2}} x_{2} \rangle &= \lambda_{2} \langle x_{1}, x_{2} \rangle \end{align*}$$

 

이때, $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$이기 때문에 $\lambda_{1} \langle x_{1}, x_{2} \rangle = \lambda_{2} \langle x_{1}, x_{2} \rangle$를 만족하기 위해 $\langle x_{1}, x_{2} \rangle = 0$이다. 따라서, 두 고유벡터는 서로 정규직교이다. 

 

 정리2

$T$를 유한차원의 복소내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자라고 하자. 그러면 $T$가 정규성을 가지는 것은 $V$의 정규직교 기저가 $T$의 고유벡터로 이루어지는 것과 동치이다. 

 

설명

정리2가 오늘의 핵심입니다. 드디어 정규성과 정규직교 기저 및 고유벡터 사이의 관계성을 하나로 묶어서 설명하고 있는 것을 볼 수 있습니다. 저희는 역방향에 대한 증명은 정규직교가 존재한다고 가정했을 때 이미 증명하였기 때문에 순방향 증명만 하면 됩니다. 증명의 핵심은 선형대수학 - 슈어 정리입니다. 

 

Proof)

$T$가 유한차원의 복소내적공간 $V$에서 정의된 정규 선형연산자라고 가정하자. 대수학의 기본정리 (The Fundamental Theorem of Algebra; FTA)에 의해 $T$의 특성 다항식은 분해가능하다. 따라서, 슈어 정리를 적용하게 되면 $V$의 정규직교 기저 $\beta = \{ v_{1}, \dots, v_{n} \}$에 대한 선형연산자 $T$의 행렬표현 $[T]_{\beta} = A$가 상삼각행렬을 이루게 된다. $A$가 상삼각행렬이기 때문에 $v_{1}$은 $T$의 고유벡터이다. 

 

최종적으로 $n$개의 벡터를 가지는 기저 $\beta$가 $T$의 고유벡터임을 증명하기 위해 수학적 귀납법을 적용한다. 먼저, $v_{1}, \dots, v_{k - 1}$이 $T$의 고유벡터라고 가정하자. 이제, $v_{k}$ 역시 $T$의 고유벡터임을 증명해야한다. 이를 위해, 임의의 $j < k$를 선택하고 $\lambda_{j}$를 고유벡터 $v_{j}$에 대응되는 고유값이라고 가정하자. 그러면 정리1에 의해 선형연산자 $T$의 수반연산자 $T^{*}$는 $T^{*} (v_{j}) = \overline{\lambda_{j}} v_{j}$를 만족한다. 이때, $A$가 상삼각행렬이므로 다음 수식을 만족한다. 

 

$$T(v_{k}) = A_{1k}v_{1} + \cdots + A_{jk}v_{j} + \cdots + A_{kk}v_{k}$$

 

또한, 선형대수학 - 그람-슈미트 과정의 정리2에 의해 상삼각행렬 $A$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

$$\begin{align*} A_{jk} &= \langle T(v_{k}), v_{j} \rangle \\ &= \langle v_{k}, T^{*}(v_{j}) \rangle \\ &= \langle v_{k}, \overline{\lambda_{j}} v_{j} \rangle \\ &= \lambda_{j} \langle v_{k}, v_{j} \rangle = 0 \end{align*}$$

 

이는 $T(v_{k}) = A_{kk}v_{k}$를 의미하기 때문에 $v_{k}$ 역시 선형연산자 $T$의 고유벡터가 된다. 따라서, 정규직교 기저 $\beta$의 모든 벡터들은 선형연산자 $T$의 고유벡터이다. 

 

오늘은 유한차원의 복소내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$의 고유벡터가 $V$의 정규 직교기저가 될 수 있는 조건인 정규성 (Normality)에 대해서 알아보았습니다. 현재 저희는 범위를 복소공간으로 정했기 때문에 아직 실공간에서는 확실하게 알 수 없습니다. 이를 위해, 다음 포스팅에서는 유한차원의 실내적공간 $V$에서 정의된 선형연산자 $T$의 고유벡터가 $V$의 정규 직교기저가 될 수 있는 조건에 대해서 알아보도록 하겠습니다.