미적분학 - 극좌표계 곡선

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 극좌표계에서는 극좌표의 정의와 함께 직교좌표계에서 극좌표계로의 변환방법과 그 반대의 변환도 알아보았습니다. 오늘은 직교좌표계가 아닌 극좌표계에서 정의된 곡선들에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 

 

 1. $r$과 $\theta$가 독립적인 경우

일단, 단순한 곡선부터 생각해보도록 하죠. 극좌표계는 $(r, \theta)$로 이루어진 좌표계입니다. 따라서, 가장 간단한 곡선은 $r$과 $\theta$가 서로 독립적인 경우겠죠.

 

먼저, $r = 2$는 어떤 곡선일까요? 해석해보도록 하겠습니다. 일단, 원점으로부터의 거리는 항상 $r = 2$임을 의미합니다. 그리고 각도는 상관없다는 뜻이네요. 따라서, 반지름이 2인 원점을 중심으로 하는 원이라는 것을 알 수 있습니다. 

 

다음으로 $\theta = 1$인 경우를 생각해보도록 하겠습니다. 이 경우에는 $r = 2$와는 다르게 $\theta$가 고정되고 $r$은 어떠한 값이 되도 상관없기 때문에 원점으로부터의 거리는 상관없습니다. 다만, 극축을 기준으로 반시계방향으로 각도가 1도로 고정되어야죠. 따라서, 위의 그림과 같은 직선을 얻을 수 있습니다. 이를 정리하면 아래와 같습니다. 

 

• $r = a$ : 반지름이 $a$인 원점을 중심으로하는 원
• $\theta = a$ : 기울기가 $\tan(a)$인 직선

 2. $r$과 $\theta$가 종속적인 경우

위의 2가지 경우에는 쉽습니다. 하지만, $r$과 $\theta$가 서로 영향을 받는다면 어떨까요? 즉, $\theta$가 커질수록 $r$도 커지는 경우를 의미합니다. 이 경우에 곡선을 그리는 방법은 테이블을 만들어보는 것입니다. 

 

 

예를 들어, $r = 2\cos(\theta)$를 그린다고 가정해보도록 하죠. 저희가 학창시절에 배운 특수각을 이용하여 $r$을 알 수 있습니다. 여기서 특수각이란 $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ 등의 각도를 의미합니다. 이 경우에는 저희가 쉽게 표기할 수 있기 때문에 자주 사용됩니다. 그러면 위의 테이블과 같이 각도에 따른 원점으로부터의 거리 $r$을 얻을 수 있습니다. 그리고 각 점을 좌표평면에 찍고 순서대로 이어주면 오른쪽의 그림을 얻을 수 있죠. 

 

다른 방법도 있습니다. 사실 위의 함수같은 경우에는 꽤나 단순한 경우이기 때문에 양변에 $r$을 곱해주어서 직교좌표로 변환하여 곡선의 모양을 유추해볼 수도 있습니다. 

 

$$\begin{align*} &r = 2\cos(\theta) \\ \Rightarrow& r^{2} = 2r\cos(\theta) \\ \Rightarrow& x^{2} + y^{2} = 2x \\ \Rightarrow& x^{2} - 2x + y^{2} = 0 \\ \Rightarrow& (x - 1)^{2} + y^{2} = 1\end{align*}$$

 

즉, 위의 곡선은 중심이 $(1, 0)$이고 반지름은 1인 원이라는 것을 알 수 있습니다. 

 

 

다른 예시를 보여드리도록 하겠습니다. $r = 1 + \sin(\theta)$를 그린다고 가정해보죠. 그러면 동일하게 특수각을 통해 $r$의 값을 알아낸 뒤 순서대로 부드럽게 점을 이어주면 곡선을 얻을 수 있습니다. 

 

참고자료 및 그림출처

Calculus(J. Stewart)