안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 직교 기저에서는 정규직교 기저의 정의와 그 중요성에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 비직교 기저로부터 정규직교 기저를 만들어낼 수 있는 그람-슈미트 과정 (Gram-Schmitz Process)을 소개시켜드리겠습니다. 이를 통해, 임의의 기저로부터 정규직교 기저를 만들어낼 수 있기 때문에 임의의 유한차원의 내적공간은 정규직교 기저를 가짐이 자동으로 증명됩니다. 가장 간단한 경우로 2개의 벡터를 가지는 유한차원의 내적공간 $V$의 선형독립 부분집합 $\{ w_{1}, w_{2} \}$를 생각해보도록 하겠습니다. 저희는 목표는 이 부분집합 $\{ w_{1}, w_{2} \}$로부터 동일한 내적공간 $V$을 생성하는 직교집합 (orthogonal set)을 만드는 것 입..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 노름과 직교성에서는 벡터의 크기를 의미하는 노름과 벡터 사이의 관계 또는 벡터공간의 성질을 의미하는 직교성에 대해 이야기하였습니다. 오늘은 선형대수 전반에 걸쳐 끊임없이 나오는 주제 중 하나인 정규직교 기저 (orthonormal basis)에 대한 이야기를 해보도록 하겠습니다. 정의1. 정규직교 기저 (orthonormal basis) $V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 내적 공간이라고 하자. 만약 $V$의 순서 기저 $\beta$가 정규직교라면 $\beta$는 내적공간 $V$의 정규직교 기저 (orthonormal basis)라고 한다. Let $V$ be an inner product space over a field $\mathbf{F}$. A sub..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 내적과 내적공간에서는 내적 및 내적공간의 정의와 관련된 성질에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 내적의 특별한 연산인 노름 (Norm)과 벡터 간의 중요한 관계성 중 하나인 직교성 (Orthogonality)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 노름 (Norm) $V$를 내적공간이라고 하자. $x \in V$에 대해서 벡터 $x$의 크기 (length) 또는 노름 (norm)은 $\lVert x \rVert = \sqrt{\langle x, x \rangle}$으로 정의된다. Let $V$ be an inner product space. For $x \in V$, we define the norm or length of $x$ by $\lVert x \rVert..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 불변 부분공간과 케일리-해밀턴 정리에서는 불변 부분공간과 순환 부분공간이라는 개념을 기반으로 케일리-해밀턴 정리 (Cayley-Hamilton Theorem)을 증명해보았습니다. 오늘은 주제를 바꾸어서 내적 (inner product)이라는 개념에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 내적 (inner product) $V$를 $\mathbf{F}$ 상에서 정의된 벡터공간이라고 하자. 벡터공간 $V$에서의 내적 (innter product)는 벡터공간 $V$의 임의의 두 벡터 $x$와 $y$ 쌍을 $\mathbf{F}$ 상의 스칼라로 변환하는 함수이며 $$로 표기한다. 벡터공간 $V$ 내의 임의의 세 벡터 $x, y, z$와 스칼라 $c \in \mathbf{F..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 대각화 2에서는 중복되는 고유값을 가지는 경우에 대각화 가능성에 대해서 이야기하였습니다. 오늘은 선형대수학에서 중요한 정리 중 하나인 케일리-해밀턴 정리 (Cayley-Hamilton Theorem)에 대해서 이야기해보도록 하겠습니다. 정의1. $T$ 불변 부분공간 ($T$-invariant subspace) $T$를 벡터공간 $V$ 상에서의 선형 연산자라고 하자. $V$의 부분공간 $W$가 $T(W) \subseteq W$ 즉, 모든 $v \in W$에 대해서 $T(v) \in W$를 만족하면 부분공간 $W$를 $T$ 불변 부분공간이라고 한다. Let $T$ be a linear operator on a vector space $V$. A subspace $W$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 대각화 1에서는 대각화 가능성이 되기 위한 조건에 대해서 알아보았습니다. 만약, $n$ 차원의 벡터공간 상에서 정의된 선형변환 $T$의 서로 다른 고유값이 $n$개라면 선형변환 $T$는 대각화 가능하죠. 그렇다면 선형변환 $T$의 고유값 중 몇 개가 중복되는 경우에는 항상 대각화가 불가능할까요? 그렇지 않습니다. 오늘은 중복되는 고유값을 가지는 경우에 대각화 가능성에 대해서 설명해보도록 하겠습니다. 정의1. 중복도 (Algebraic Multiplicity) $\lambda$가 선형변환 또는 행렬의 고유값, 그리고 $f(t)$는 특성 다항방정식이라고 하자. $\lambda$의 중복도는 $f(t)$의 인수 중 $(t - \lambda)^{k}$를 만족하는 인수 중 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 고유값과 고유벡터 2에서는 선형변환의 고유값과 고유벡터를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지금까지 배웠던 개념을 활용하여 행렬에 대각화를 적용하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정리1 $T$를 벡터공간 $V$에서의 선형변환 그리고 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$를 $T$의 서로 다른 고유값이라고 하자. 만약, $v_{1}, \dots, v_{k}$가 각각 $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$에 대응되는 $T$의 고유벡터라고 하면 $\{v_{1}, \dots, v_{k}\}$는 선형독립이다. 증명 정리1은 저희가 고유값을 결정하고 그에 대응되는 고유벡터를 구하기만 하면 고유벡터들의 집합은 무조건..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기저와 차원에서는 앞으로 끊임없이 나올 기저와 차원에 대한 개념과 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 여기서 저희가 주의해야할 점은 지금까지 확인했던 기저 및 차원의 특성은 "유한" 벡터공간에서만 다루었습니다. 오늘은 이를 확장하여 무한 벡터공간에서도 기저가 존재함을 보이도록 하겠습니다. 오늘 최종적으로 증명할 명제는 아래와 같습니다. 모든 벡터공간은 기저를 가진다. 이 명제를 증명하기 위해서는 몇 가지 단계가 필요합니다. 먼저, 새로운 개념인 "극대성"을 도입하여야 하죠. 정의1. 극대성 (Maximality) $\mathcal{F}$를 집합족 (family of set)이라고 하자. 그리고 $\mathcal{F}$의 멤버 $\mathcal{M}$이 $\ma..
