안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 2D DFT 특성 1에서는 2D DFT와 관련된 몇 가지 성질들에 대해서 알아보았습니다. 큰 줄기만 말씀드리면 공간 샘플 간격과 주파수 샘플 간격 사이의 관계, DFT의 이동 및 회전 특성, 그리고 제일 중요한 주기성에 대해서 알아보았습니다. 여기서 주기성은 일정 주기를 가지고 반복되는 특성을 의미합니다. 이러한 주기성을 활용해서 중앙으로 평행이동하는 과정도 알아보았습니다. 실제로 주파수 공간 필터링에서는 DFT를 적용한 이후 평행이동을 시키는 과정을 필수로 고려하고 있습니다. 오늘은 이러한 특성들에 이어서 나머지 중요한 특성들에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 1. 대칭성(Symmetric) 기본적으로 임의의 실수 및 복소수 함수 $w(x, y)$는 우함수..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 2 변수 함수로의 확장에서는 기존의 1D DFT를 2D DFT로의 확장을 해보았습니다. 또한 1D 샘플링 정리를 2D 샘플링 정리로도 확장을 해보았습니다. 결론적으로는 1D나 2D나 그렇게 큰 차이는 없다는 것입니다. 그저 변수가 하나 더 추가되었다는 점이죠. 오늘은 2D DFT의 더 많은 특성들을 알아보도록 하겠습니다. 소개할 몇몇 특성들은 이후에 디지털 영상 처리에 있어서 중요한 역할을 하기 때문에 알아두는 것이 중요합니다. 1. 공간 및 주파수 간격들간의 관계 혹시 디지털 영상 처리 - 단일 변수 함수의 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform)에서 샘플링과 주파수 간격 사이의 관계식을 기억하시나요. 다시 간단하게 정리하면 $..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 이산 푸리에 변환과 이산 역푸리에 변환 구현에서는 단변수 이산 푸리에 변환과 이산 역푸리에 변환을 간단하게 구현해보았습니다. 하지만 저희는 디지털 영상을 다루어야하기 때문에 단변수가 아닌 2변수 함수에 대한 이산 푸리에 변환으로 정의를 확장해야합니다. 혹시 아직 임펄스 함수와 임펄스 열에 대한 개념을 기억하고 계신다면 단변수에서도 임펄스 함수에서부터 시작했다싶이 2변수 함수에 대한 DFT 역시 동일하게 시작합니다. 1. 2D 임펄스와 그 선별 특성 두 연속 변수 $t$와 $z$에 대한 2D 임펄스 함수 $\delta(t, z)$는 아래와 같이 정의됩니다. 1D 임펄스 함수와의 차이점은 오직 새로운 변수가 추가되었다는 점과 이제는 변수가 2개이기 때문에 적분..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 단일 변수 함수의 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform)에서는 DFT를 유도하고 유도한 결과를 샘플링과 주파수 간격 간의 관계에 대해서 설명하였습니다. 오늘은 지난 포스팅에서 설명했던 예제를 함수를 구현해보도록 하겠습니다. 전체 코드는 아래의 제 깃허브 링크를 참고해주시길 바랍니다. github.com/skawngus1111/DIP skawngus1111/DIP Digital Image Processing exercise&code. Contribute to skawngus1111/DIP development by creating an account on GitHub. github.com 함수 자체가 아주 간단하기 때문에 함수 파..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 샘플링 정리와 샘플링된 함수 복원에서는 디지털 영상에서의 핵심인 샘플링 정리의 원리, 대역 제한 함수인 이상적인 상황에서 언더-샘플링 시 발생하는 앨리어싱 현상, 그리고 컨볼루션 정리를 이용하여 주파수 공간에서 영상 공간으로 변환하였을 때 가지는 의미에 대해서 설명하였습니다. 지금까지는 푸리에 변환과 디지털 영상에 대한 관계성을 알아보았다면 오늘 포스팅에서는 디지털 영상 처리에서 활용되는 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform;DFT)를 유도해보도록 하겠습니다. 1. 샘플링된 함수의 연속적 변환으로부터 DFT 유도 기본적으로 저희가 DFT가 필요한 이유는 디지털 영상을 다루기 때문입니다. 디지털 영상은 이산 데이터의 일종이기 때문..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 샘플링과 샘플링된 함수의 푸리에 변환에서는 샘플링을 수학적으로 모델링하고 샘플링된 함수에 푸리에 변환을 적용한 결과에 대해서 알아보고 분석해보았습니다. 이를 통해 저희는 아래의 수식을 얻을 수 있었습니다. $$\tilde{F}(\mu) = \mathcal{F}\{\tilde{f}(t)\} = \frac{1}{\Delta T}\sum_{n = -\infty}^{\infty} F(\mu - \frac{n}{\Delta T})$$ 위의 결과는 저희에게 아래의 3가지를 알려주게 됩니다. 기존 함수 $f(t)$의 푸리에 변환인 $F(\mu)$라는 함수가 주기 $\frac{1}{\Delta T}$에 의존하여 무한 번 반복된다. $\tilde{F}(\mu)$의 반복 주..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 주파수 공간 필터링 기초 2에서는 푸리에 변환과 컨볼루션 정리에 대해서 알아보았습니다. 기초 파트에서 유심히 보셔야 할 키워드는 3가지로 임펄스 열(impulse sequence), 푸리에 변환(Fourier Transform), 그리고 컨볼루션 정리(Convolution Theorem)만 이해하고 있으시면 주파수 공간 필터링을 이해할 수 있습니다. 오늘은 디지털 신호(digital signal) 샘플링과 샘플링된 신호에 푸리에 변환을 시키면 어떤 결과를 얻는지 분석하고 이해하는 시간을 갖도록 하겠습니다. 1. 샘플링(Sampling) 아주 옛날에 제가 정리했던 디지털 영상 처리 기초 파트에서 자연 상태인 continuous 함수를 컴퓨터에서 다루기 위해서..
안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 주파수 공간 필터링 기초 1에서는 복소수(Complex numbers), 푸리에 급수(Fourier Series), 임펄스(Impulse), 선별 특성(Sifting Property)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 나머지 개념들을 정리해보는 시간을 가지도록 하겠습니다. 1. 푸리에 변환(Fourier Transform) 연속 변수 $t$의 연속 함수 $f(t)$에 대한 푸리에 변환 $\mathcal{F}\{f(t)\}$은 아래와 같이 정의됩니다. $$\mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j2\pi\mu t} \; dt$$ 위의 정의를 보면 변환과정에서 연속 변수 $t$는 적분 되어 없어지고 새로운..
