안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다항함수와 지수함수의 미분에서는 다항함수와 지수함수의 미분 규칙에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 함수끼리 곱셈의 미분과 몫의 미분을 계산하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정리1. 곱의 미분 (Product Differentiation Rule) 만약 $f$와 $g$가 모두 미분가능하면 아래의 식을 만족한다. $$\frac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] = f(x)\frac{d}{dx}\left[g(x)\right] + g(x)\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]$$ 예제1. $f(x) = xe^{x}$일 때, $f^{'}(x)$과 $f^{n}..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 종속과 독립에서는 체 $\mathbf{F}$상에서 정의된 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$의 원소인 벡터들이 선형적으로 독립인지 종속인지 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 자주 나오는 개념인 기저(basis)와 차원(dimension)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 기저 (Basis) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $\beta$가 선형독립이고 $\text{span}(\beta) = V$이면 $\beta$는 $V$의 기저(basis)이다. 만약, $V = \{0\}$이면 공집합 $\phi$는 $\{0\}$의 기저이다. A basis $\beta$ for a vector space $V$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수 미분에서는 기존의 미분을 구하는 법을 확장하여 일반적인 함수의 미분을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 하지만 항상 정의를 사용하여 미분하게 되면 비효율적이기 때문에 몇 가지 대표적인 함수들에 대한 미분은 미리 정의해놓고 사용하는 편입니다. 특히 오늘은 가장 대표적인 다항함수와 지수함수의 미분을 일반적으로 어떻게 하는 지 알아보도록하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 상수함수 (Constant Functions) 상수함수은 $f(x) = c$인 함수로 정의된 모든 정의역에서 동일한 값을 유지하는 함수이다. 정리1. 상수함수의 미분 $\forall x \in \text{dom}(f)$에 대해서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 결합에서는 선형 결합(linear combination)의 정의와 선형 생성(linear span)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 빠질수없는 개념인 선형 종속(linearly dependent)와 선형 독립(linearly independent)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형 종속 (Linearly dependent) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$가 $a_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{u}_{n} = \mathbf{0}$를 만족하는 계수쌍 $(a_{1}, \dots, a_{n})$이 0이 아닌 조합이 존재한다면 $S..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 부분공간에서는 벡터공간에 이어서 어떻게 보면 부분집합과 비슷한 개념이 부분공간에 대해서 알아보았으며 다양한 예제들을 통해 부분공간임을 증명해보았습니다. 오늘은 선형 결합(linear combination)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형 결합(Linear Combination) $V$를 벡터공간, 그리고 $S$를 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. $v \in V$에 대해서 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$을 만족하는 유한 개의 벡터 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in S$와 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$가 존재하면 벡터 $v$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 미분 개요에서는 접선(Tangent)와 미분(Derivative)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 지난 번에 알아본 미분을 임의의 점으로 확장해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 정의1. 함수 미분(Function Derivative) 함수 $f$의 임의의 점 $x \in \text{dom}(f)$에서의 함수 미분(Function Derivative)은 극한이 존재한다면 아래와 같이 정의된다. $$f^{'}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$ 이때, 미분의 기호는 다양하며 아래의 기호들 모두 동일한 의미이다. $$f^{'}(x) = y^{..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 벡터 공간에서 이어서 오늘은 부분공간(Subspaces)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 부분공간 (Subspace) $V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터 공간($V.S/\mathbf{F}$) 그리고 $W$를 $V$의 부분집합(subset)이라고 하자. $W$가 $\mathbf{0} \in W$ 그리고 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$이고 $c \in \mathbf{F}$일 때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}, c\mathbf{x} \in W$를 만족한다면 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)이 된다. 그리고 $W$가 $V$의 부분 공간이라면 $W < V$로 표기한다. A..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한대 극한에서는 $x \rightarrow \infty$이거나 $x \rightarrow -\infty$일 때 $\pm \infty$로 발산하는 경우와 이에 대한 정확한 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 미적분학의 꽃이라고 할 수 있는 미분에 대해서 간단하게 설명해보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 1. 접선 (Tangent) 직교평면에 어떤 곡선 $C$가 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 이 곡선이 $y = f(x)$로 나타낼 수 있다고 하면 점 $P(a, f(a))$에서 곡선 $C$의 접선(Tangent)를 찾는 것이 목표입니다. 문제를 간단하게 하기 위해서 일단 점 $P$ 근방의 임의의 ..
