안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기저와 차원에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 기저(basis) $\beta$와 차원 $\text{dim}(V)$의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 두 개의 벡터공간 $V, W$ 사이의 관계성을 정의하는 선형변환(Linear Transformation)과 선형변환의 영 공간(Null Space)와 치역(Range)까지 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형변환(Linear Transformation) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환(Linear Transformation) $T : V \rightarrow W$는 모든 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 종속과 독립에서는 체 $\mathbf{F}$상에서 정의된 벡터공간 $V$의 부분집합 $S$의 원소인 벡터들이 선형적으로 독립인지 종속인지 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 자주 나오는 개념인 기저(basis)와 차원(dimension)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 기저 (Basis) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $\beta$가 선형독립이고 $\text{span}(\beta) = V$이면 $\beta$는 $V$의 기저(basis)이다. 만약, $V = \{0\}$이면 공집합 $\phi$는 $\{0\}$의 기저이다. A basis $\beta$ for a vector space $V$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형 결합에서는 선형 결합(linear combination)의 정의와 선형 생성(linear span)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 선형대수학에서 빠질수없는 개념인 선형 종속(linearly dependent)와 선형 독립(linearly independent)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형 종속 (Linearly dependent) 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$가 주어졌을 때 어떤 벡터들의 집합 $S$가 $a_{1}\mathbf{u}_{1} + \cdots + a_{n}\mathbf{u}_{n} = \mathbf{0}$를 만족하는 계수쌍 $(a_{1}, \dots, a_{n})$이 0이 아닌 조합이 존재한다면 $S..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 부분공간에서는 벡터공간에 이어서 어떻게 보면 부분집합과 비슷한 개념이 부분공간에 대해서 알아보았으며 다양한 예제들을 통해 부분공간임을 증명해보았습니다. 오늘은 선형 결합(linear combination)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 선형 결합(Linear Combination) $V$를 벡터공간, 그리고 $S$를 $V$의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. $v \in V$에 대해서 $v = a_{1}u_{1} + \cdots + a_{n}u_{n}$을 만족하는 유한 개의 벡터 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in S$와 스칼라 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in \mathbf{F}$가 존재하면 벡터 $v$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 벡터 공간에서 이어서 오늘은 부분공간(Subspaces)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의 1. 부분공간 (Subspace) $V$를 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터 공간($V.S/\mathbf{F}$) 그리고 $W$를 $V$의 부분집합(subset)이라고 하자. $W$가 $\mathbf{0} \in W$ 그리고 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in W$이고 $c \in \mathbf{F}$일 때 $\mathbf{x} + \mathbf{y}, c\mathbf{x} \in W$를 만족한다면 체 $\mathbf{F}$ 상의 벡터공간 $V$의 부분공간(subspace)이 된다. 그리고 $W$가 $V$의 부분 공간이라면 $W < V$로 표기한다. A..
안녕하세요. 오늘부터 새롭게 선형대수학 (Linear Algebra) 카테고리를 열고 제가 그 동안 공부했던 것들을 정리해보고자 합니다. 선형대수학은 수학에서뿐만 아니라 공학, 인공지능 등 수많은 분야에서 필수적으로 활용되고 있는 학문입니다. 그래서 이를 공부하고 활용하는 것이 굉장히 중요하죠. 오늘은 첫 포스팅으로 벡터 공간 (Vector Space)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 벡터 공간 (Vector Space) $V$가 벡터공간(Vector Space)라고 할 때 임의의 두 원소 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$와 체(Field)의 임의의 원소 $c \in \mathbf{F}( = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{Q}, \dots)$는 체..
