안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기본행렬연산과 기본행렬에서는 행렬 내에서 행 또는 열간의 연산 타입을 정의하고 이를 행렬로 표현하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 중요한 점은 기본행렬은 가역행렬이라는 점 입니다. 오늘은 이를 활용해서 행렬의 계수 (rank)를 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 행렬의 계수 (Rank of Matrix) $A \in M_{m \times n}(\mathbf{F})$라고 하자. 행렬 $A$의 계수 (rank)는 행렬 $A$에 대응되는 좌곱셈변환 $L_{A} : \mathbf{F}^{n} \rightarrow \mathbf{F}^{m}$의 계수로 정의된다. $$\text{rank}(A) = \text{rank}(L_{A})$$ If $A \in M..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 쌍대공간에서는 벡터공간의 쌍대공간을 정의하고 이는 벡터공간 $V$에서 $\mathbf{F}$로의 선형범함수들 (적분, 미분, ...)의 벡터공간임을 알았습니다. 여기서 중요한 점은 쌍대공간의 기저인 쌍대기저는 Dirac-Delta 함수 $\delta$로 정의된다는 것입니다. 뿐만 아니라 이중쌍대공간인 $V^{**}$은 $V$와 같다는 것 역시 증명하였습니다. 지금까지 저희는 벡터공간의 정의와 함께 벡터공간을 이루는 기저와 차원에 대해서 알아보았으며 두 벡터공간 사이의 관계인 선형변환과 관련된 다양한 성질들에 대해서 알아보았습니다. 대부분의 학생들은 선형대수학이 행렬을 다루는 학문으로 알고 계실테지만 저희는 아직까지 행렬이라고는 선형변환의 행렬표현밖에 배우지 못했습..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 기저와 차원에서는 앞으로 끊임없이 나올 기저와 차원에 대한 개념과 다양한 정리들에 대해서 알아보았습니다. 여기서 저희가 주의해야할 점은 지금까지 확인했던 기저 및 차원의 특성은 "유한" 벡터공간에서만 다루었습니다. 오늘은 이를 확장하여 무한 벡터공간에서도 기저가 존재함을 보이도록 하겠습니다. 오늘 최종적으로 증명할 명제는 아래와 같습니다. 모든 벡터공간은 기저를 가진다. 이 명제를 증명하기 위해서는 몇 가지 단계가 필요합니다. 먼저, 새로운 개념인 "극대성"을 도입하여야 하죠. 정의1. 극대성 (Maximality) $\mathcal{F}$를 집합족 (family of set)이라고 하자. 그리고 $\mathcal{F}$의 멤버 $\mathcal{M}$이 $\ma..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 좌표행렬 변환에서는 좌표계을 변환하는 과정과 선형변환 사이의 관계, 그리고 행렬의 닮음(similarity) 관계에 대해서 설명하였습니다. 오늘은 쌍대공간(Dual Space)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기본적으로 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$ 사이에서 정의된 선형변환 $T : V \rightarrow \mathbf{F}$에서 $\text{dim}(F) = 1$이라면 이러한 $T$를 $V$에 대한 선형 범함수(linear functional)라고 합니다. 그리고 일반적으로 $f, g, h, \dots$와 같은 기호로 표기하죠. 가장 대표적인 예로 적분이라는 연산은 선형 범함수의 대표적인 예시입니다. $V$를 $[0, 2\pi]$에서 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 역변환과 동형사상에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$가 주어졌을 때, 가역변환 (invertible transformation) $T^{-1} : W \rightarrow V$의 정의와 변환을 구성하는 두 벡터공간 $V$와 $W$ 사이의 관계인 동형사상 (isomorphism)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 약간 다른 주제로 넘어가서 좌표변환 행렬에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 일단 좌표변환의 필요성부터 설명할 필요가 있겠네요. 예를 들어서 $2x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 1$이라는 복잡한 형태의 방정식이 있다고 가정하겠습니다. 그리고 저희는 아래와 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형변환 합성과 행렬곱에서는 선형변환의 합성이 곧 행렬곱으로 표현될 수 있다는 것을 알아보았습니다. 오늘은 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$의 $V$와 $W$ 사이의 관계성 중에 하나인 동형사항(Isomorphism)을 배우고 이를 위한 기본 개념인 역변환(inverse transformation)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 가역성 (invertiblity) $V$와 $W$를 체 $\mathbf{F}$ 상에서 정의된 벡터공간 그리고 $T : V \rightarrow W$를 선형변환이라고 하자. $U : W \rightarrow V$가 $TU = I_{W}$..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형변환의 행렬표현에서는 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, 선형변환 $T : V \rightarrow W$와 $\beta, \gamma$를 각각 벡터공간 $V, W$의 기저들이라고 하면 선형변환 $T$를 $[T]_{\beta}^{\gamma}$로 표현하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 합성함수와 같이 여러 개의 선형변환을 적용했을 때 어떤 식으로 표현할 수 있는 지와 이것이 행렬곱과 관련해서 어떤 관계를 가지는 지 알아보도록 하겠습니다. 이를 위해서 필요한 몇 가지 정리들부터 확인하고 넘어가도록 하겠습니다. 정리1. 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$, $Z$에 대한 선형변환 $T ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 선형대수학 - 선형변환, 영 공간, 치역에서는 선형변환, 영 공간, 치역의 정의에 대해서 알아보았으며 어떤 체 $\mathbf{F}$에 대한 벡터공간 $V$와 $W$가 주어졌을 때, $T : V \rightarrow W$을 선형변환, $\text{dim}(V) < \infty$라고 할 때, $\text{dim}(V) = \text{nullity}(T) + \text{rank}(T)$라는 차원 정리(Dimension Theorem)를 증명해보았습니다. 물론, 차원 정리말고도 다양한 정리들을 보았지만 제가 생각했을 때는 이 정리가 가장 중요할 거 같네요. 오늘은 선형변환을 쉽게 다루기 위해서 행렬으로 표현하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 정의1. 순서기저 (ordered ..
