안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 스토크스의 정리에서는 그린 정리의 일반화 버전인 스토크스의 정리에 대한 특별한 경우의 증명에 대해서 알아보고 예제를 풀어보았습니다. 오늘은 미적분학 관련 마지막 포스팅으로 발산 정리 (Divergence Theorem)을 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 회전과 발산에서 그린 정리를 벡터장 버전으로 작성했던 것을 기억하시나요? $$\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \; ds = \iint_{D} \text{div } \mathbf{F}(x, y) \; dA$$ 여기서 곡선 $C$는 영역 $D$의 경계선으로 양의 방향성을 가지게 됩니다. 이 정리를 3차원으로 확장하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. $$\iint_{S} \mathbf{..
안녕하세요. 지난 포스티의 미적분학 - 유향곡면에서는 곡면에서의 면적분을 설명한 뒤 이를 벡터장으로 확장해보았습니다. 이 과정에서 필수적으로 곡면의 방향성이 존재해야하며 주어진 곡면을 통과하는 벡터장의 유량 (flux)를 계산할 수 있었습니다. 오늘은 그린 정리 (Green's Theorem)의 일반화된 버전인 스토크스의 정리 (Stokes' Theorem)에 대해서 알아보겠습니다. 정리1. 스토크스의 정리(Stokes' Theorem) 곡면 $S$를 조각끼리 부드럽고 양의 방향성이 존재하는 유계 단순연결곡선 $C$에 의해 제한이 생기는 조각끼리 부드러운 유향곡면이라고 하자. 벡터함수 $\mathbf{F}$를 각 성분함수가 3차원 실수공간 $\mathbf{R}^{3}$에서 유향곡면 $S$를 포함하는 영역..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 면적분에서는 선적분과 유사한 개념의 면적분을 정의하고 예제를 풀어보았습니다. 다만, 지금까지 벡터장이 아닌 단순 곡면에서 면적분을 다루었습니다. 하지만, 벡터장에서 면적분을 정의하기 위해서는 유향곡면이여야하기 때문이죠. 오늘은 유향곡면과 벡터장에서의 면적분을 더 자세하게 알아보도록 하겠습니다. 1. 유향곡면 (oriented surface) 일단, 유향곡면이 무엇인지 이야기하기 위해 무향곡면 (non-oriented surface)가 무엇인지부터 설명해보도록 하겠습니다. 위 그림은 무향곡면의 가장 대표적인 곡면인 뫼비우스의 띠 (Mobius strip) 입니다. 흔히들, 안과 밖의 경계가 없는 곡면이라고들 말하죠. 점 $P$에서 시작하여 뫼비우스의 띠를 따라가면 기..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분에서는 기존에 저희가 보았던 축이나 평면을 기준으로하는 적분이 아닌 매개변수 곡선 상에서의 적분인 선적분에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 보다 이론적인 내용으로 선적분을 미적분학 기본정리와 연결지어보도록 하겠습니다. 일단, 선적분을 다시 복습해보면 함수 $f(x, y)$의 변수들이 각각 매개변수 $a \le t \le b$에 대한 함수 $x = x(t)$와 $y = y(t)$로 정의된다고 가정할 때 곡선 $C$에서 아래와 같이 적분할 수 있습니다. $$\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서는 실질적으로 좌표계 변환을 했을 때 발생하는 넓이 차이 $\Delta A$가 생기는 원리와 이를 보정하는 값인 야코비(Jacobian)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터장(Vector Field)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 여러분들이 가장 흔히 보시는 벡터장은 위와 같이 기상뉴스에서 각 위치에 따른 바람의 방향입니다. 다른 예시로는 위 그림과 같이 해류의 방향과 공기의 순환 방향을 예로 들 수 있습니다. 정의1. 벡터장(Vector Field) 1). $D$를 $\mathbb{R}^{2}$의 부분집합이라고 하자. $\mathbb{R}^{2}$에서의 벡터장은 영역 $D$의 각 점 $(x, y)$에 대한 이차원 벡터함수 $\mathbf..
