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벡터장

수학/미적분학

미적분학 - 발산 정리

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 스토크스의 정리에서는 그린 정리의 일반화 버전인 스토크스의 정리에 대한 특별한 경우의 증명에 대해서 알아보고 예제를 풀어보았습니다. 오늘은 미적분학 관련 마지막 포스팅으로 발산 정리 (Divergence Theorem)을 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 회전과 발산에서 그린 정리를 벡터장 버전으로 작성했던 것을 기억하시나요? CFnds= 여기서 곡선 C는 영역 D의 경계선으로 양의 방향성을 가지게 됩니다. 이 정리를 3차원으로 확장하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. $$\iint_{S} \mathbf{..

수학/미적분학

미적분학 - 스토크스의 정리

안녕하세요. 지난 포스티의 미적분학 - 유향곡면에서는 곡면에서의 면적분을 설명한 뒤 이를 벡터장으로 확장해보았습니다. 이 과정에서 필수적으로 곡면의 방향성이 존재해야하며 주어진 곡면을 통과하는 벡터장의 유량 (flux)를 계산할 수 있었습니다. 오늘은 그린 정리 (Green's Theorem)의 일반화된 버전인 스토크스의 정리 (Stokes' Theorem)에 대해서 알아보겠습니다. 정리1. 스토크스의 정리(Stokes' Theorem) 곡면 S를 조각끼리 부드럽고 양의 방향성이 존재하는 유계 단순연결곡선 C에 의해 제한이 생기는 조각끼리 부드러운 유향곡면이라고 하자. 벡터함수 \mathbf{F}를 각 성분함수가 3차원 실수공간 \mathbf{R}^{3}에서 유향곡면 S를 포함하는 영역..

수학/미적분학

미적분학 - 유향곡면

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 면적분에서는 선적분과 유사한 개념의 면적분을 정의하고 예제를 풀어보았습니다. 다만, 지금까지 벡터장이 아닌 단순 곡면에서 면적분을 다루었습니다. 하지만, 벡터장에서 면적분을 정의하기 위해서는 유향곡면이여야하기 때문이죠. 오늘은 유향곡면과 벡터장에서의 면적분을 더 자세하게 알아보도록 하겠습니다. 1. 유향곡면 (oriented surface) 일단, 유향곡면이 무엇인지 이야기하기 위해 무향곡면 (non-oriented surface)가 무엇인지부터 설명해보도록 하겠습니다. 위 그림은 무향곡면의 가장 대표적인 곡면인 뫼비우스의 띠 (Mobius strip) 입니다. 흔히들, 안과 밖의 경계가 없는 곡면이라고들 말하죠. 점 P에서 시작하여 뫼비우스의 띠를 따라가면 기..

수학/미적분학

미적분학 - 선적분과 미적분학 기본정리

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분에서는 기존에 저희가 보았던 축이나 평면을 기준으로하는 적분이 아닌 매개변수 곡선 상에서의 적분인 선적분에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 보다 이론적인 내용으로 선적분을 미적분학 기본정리와 연결지어보도록 하겠습니다. 일단, 선적분을 다시 복습해보면 함수 f(x, y)의 변수들이 각각 매개변수 a \le t \le b에 대한 함수 x = x(t)y = y(t)로 정의된다고 가정할 때 곡선 C에서 아래와 같이 적분할 수 있습니다. $$\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^..

수학/미적분학

미적분학 - 벡터장

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 다중적분의 변수변환법에서는 실질적으로 좌표계 변환을 했을 때 발생하는 넓이 차이 \Delta A가 생기는 원리와 이를 보정하는 값인 야코비(Jacobian)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 벡터장(Vector Field)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 여러분들이 가장 흔히 보시는 벡터장은 위와 같이 기상뉴스에서 각 위치에 따른 바람의 방향입니다. 다른 예시로는 위 그림과 같이 해류의 방향과 공기의 순환 방향을 예로 들 수 있습니다. 정의1. 벡터장(Vector Field) 1). D\mathbb{R}^{2}의 부분집합이라고 하자. \mathbb{R}^{2}에서의 벡터장은 영역 D의 각 점 (x, y)에 대한 이차원 벡터함수 $\mathbf..