안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 함수의 평균에서는 적분을 이용해서 실제 함수의 평균을 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 더욱 복잡한 형태의 함수를 적분하기 위한 부분적분(Intergration by Parts)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기본적으로 모든 적분은 FTC에 의해 대응되는 미분 규칙이 존재합니다. 예를 들어, 치환 적분에 대응되는 미분 규칙은 연쇄 법칙인 것처럼 말입니다. 부분 적분에 대응되는 미분 규칙은 함수의 곱셈을 미분할 때 얻는 결과를 활용하게 됩니다. 아래의 연산 결과를 보시면 쉽게 이해할 수 있습니다. $$\frac{d}{dx} \left[f(x) \cdot g(x)\right] = f^{'}(x) g(x) + f(x) g^{'}(x)$$ 위 연산은 곱셈 형태..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 입체 부피 구하기에서는 $x$축 또는 $y$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피를 구하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 중간이 비어있는 형태의 회전체의 부피를 구하는 방법인 실린더 방법(method of cylinder shell)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 일단, 위의 그림과 같이 $y = 2x^{2} - x^{3}$과 $y = 0$으로 둘러쌓인 영역이 있다고 가정하겠습니다. 그리고 이 영역을 $y$축을 중심으로 회전시켰을 때 얻는 회전체의 부피를 고려해보도록 하겠습니다. 지금까지 저희가 보았던 부피를 구하기 위해서는 $y$축을 중심으로 회전하기 때문에 주어진 식을 $y$에..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 두 곡선 사이의 넓이에서는 적분을 통해 복잡한 형태의 영역의 넓이를 구할 수 있엇습니다. 오늘은 넓이뿐만 아니라 부피도 구할 수 있음을 보여드리도록 하겠습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 기본적으로 부피를 구하는 공식은 아래와 같습니다. $$V = Ah$$ 여기서 $A$는 입체의 밑넓이, $h$는 높이입니다. 이때, 핵심은 간단합니다. 기존에 저희가 넓이를 구할 때는 영역을 $n$개의 직사각형으로 잘게 쪼갠 뒤 각 직사각형의 넓이를 모두 더한 뒤 $n \rightarrow \infty$로의 극한을 취하였습니다. 부피를 구할 때도 마찬가지입니다. 위의 왼쪽 그림과 같이 $n$개의 작은 높이를 가지는 영역으로 잘게 ..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 치환적분에서는 보다 복잡한 함수의 적분을 가능하게 하는 치환적분(Substitution Integration)에 대해서 알아보았습니다. 오늘부터는 적분을 활용하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 첫번째 활용은 임의의 두 곡선 사이의 넓이를 적분을 통해 구할 수 있습니다. 미적분학 - 목차에서 다양한 주제의 미적분학 관련 포스팅들을 보실 수 있습니다. 먼저, 위와 같은 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$를 고려하겠습니다. 이제 저희가 하고 싶은 것은 구간 $[a, b]$에서 두 곡선 사이의 영역 $S$ 넓이인 $A$를 구하는 것입니다. 이때, 영역 $S$를 수학적으로 표현하면 아래와 같습니다. $$S = \{(x, y) | a \le x \le b, g(x)..
