디지털 영상 처리 - 영상 열화 및 복원 과정 모델

 안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform;FFT)을 마지막으로 주파수 공간에서의 필터링을 마무리하였습니다. 오늘부터는 지금까지 배웠던 영상 공간 및 주파수 공간 필터링 기법들을 활용해서 다양한 영상 처리 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 그 시작으로 영상 복원과 관련된 이야기를 해보려고 합니다. 오늘은 간단하게 진행해보도록 하죠.

 

 영상을 복원하는 이유는 무엇일까요? 음...아마 다양한 이유들이 있겠지만 제 생각에는 주어진 영상이 특정 잡음에 오염된 경우 깨끗한 영상을 얻고자할 때 일 것입니다. 일단 영상이 오염, 즉 열화(Degradation)되는 과정을 수학적으로 모델링해보도록 하겠습니다. 일단, 열화가 되기 위해서는 노이즈가 하나도 없는 깨끗한 영상 $f(x, y)$가 주어져야합니다. 그리고 여기에서 중요한 열화된 영상 $g(x, y)$을 생성하는 열화 함수(Degradation function) $h(x, y)$가 있어야됩니다. 그리고 여기서 부가적인 노이즈 $\eta(x, y)$를 이용하여 아래와 같이 모델링할 수 있습니다. 

 

$$g(x, y) = \left(f * h\right)(x, y) + \eta(x, y)$$

 

 물론 위와 같이 모델링되기 위해서는 $h$가 선형적이고 위치 불변적(positional invariant)한 열화 함수라는 조건이 필요합니다. 이 부분은 나중에 증명을 해보도록 하죠. 그리고 저희는 컨볼루션 정리(Convolution Theorem)을 이용해서 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

$$G(\mu, \nu) = H(\mu, \nu)F(\mu, \nu) + N(\mu, \nu)$$

 

 여기서 각 대문자 항들은 영상 도메인의 함수들에 DFT를 적용한 주파수 도메인에서의 표현입니다. 아마 지금까지 제 포스팅을 보신 분들이라면 컨볼루션 정리에 대해서 아시겠지만 아직 잘 모르시는 분들은 아래의 링크를 먼저 보시는 것을 추천드립니다. 

디지털 영상 처리 - 주파수 공간 필터링 기초 2

  그리고 저희는 이제 열화된 함수 $g(x, y)$가 주어졌을 때 다시 적절하게 $\hat{f}(x, y)$로 복원하는 복원 필터 함수 $s(x, y)$를 찾아야합니다. 만약, 저희가 열화 함수 $h(x, y)$ 및 잡음 $\eta(x, y)$에 대한 정보를 많이 알고 있다면 $\hat{f}(x, y)$를 $f(x, y)$로 더 가깝게 만들 수 있습니다. 이 일련의 과정을 그림으로 그리면 아래와 같습니다. 

 

 

 영상을 다시 깨끗한 영상으로 복원하는 것은 아주 어려운 일입니다. 그래서 저희는 간단한 가정으로 열화 함수가 없는, 즉 오직 부가 잡음만 주어질 때로 시작해서 제한적인 영상 복원 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.