안녕하세요. 지난 포스티의 미적분학 - 유향곡면에서는 곡면에서의 면적분을 설명한 뒤 이를 벡터장으로 확장해보았습니다. 이 과정에서 필수적으로 곡면의 방향성이 존재해야하며 주어진 곡면을 통과하는 벡터장의 유량 (flux)를 계산할 수 있었습니다. 오늘은 그린 정리 (Green's Theorem)의 일반화된 버전인 스토크스의 정리 (Stokes' Theorem)에 대해서 알아보겠습니다. 정리1. 스토크스의 정리(Stokes' Theorem) 곡면 $S$를 조각끼리 부드럽고 양의 방향성이 존재하는 유계 단순연결곡선 $C$에 의해 제한이 생기는 조각끼리 부드러운 유향곡면이라고 하자. 벡터함수 $\mathbf{F}$를 각 성분함수가 3차원 실수공간 $\mathbf{R}^{3}$에서 유향곡면 $S$를 포함하는 영역..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 면적분에서는 선적분과 유사한 개념의 면적분을 정의하고 예제를 풀어보았습니다. 다만, 지금까지 벡터장이 아닌 단순 곡면에서 면적분을 다루었습니다. 하지만, 벡터장에서 면적분을 정의하기 위해서는 유향곡면이여야하기 때문이죠. 오늘은 유향곡면과 벡터장에서의 면적분을 더 자세하게 알아보도록 하겠습니다. 1. 유향곡면 (oriented surface) 일단, 유향곡면이 무엇인지 이야기하기 위해 무향곡면 (non-oriented surface)가 무엇인지부터 설명해보도록 하겠습니다. 위 그림은 무향곡면의 가장 대표적인 곡면인 뫼비우스의 띠 (Mobius strip) 입니다. 흔히들, 안과 밖의 경계가 없는 곡면이라고들 말하죠. 점 $P$에서 시작하여 뫼비우스의 띠를 따라가면 기..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 매개변수 곡면에서는 3차원 공간에서 곡면을 매개변수로 표현하는 방법과 곡면과 관련된 다양한 개념들(회전체, 접평면, 곡면의 넓이)을 정리해보았습니다. 오늘은 이어서 면적분 (Surface Integral)에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 지금까지 저희는 3차원 곡선 상에서의 적분인 선적분 (Line Integral)을 중점적으로 보았지만 이를 보다 확장하여 3차원 곡면 상에서도 적분을 수행할 수 있습니다. 1. 배경 (Background) 면적분을 이해하기 위해서는 기본적으로 선적분에 대한 개념과 유도과정을 반드시 숙지하고 계셔야하기 때문에 혹시 생각나지 않으시는 분들은 미적분학 - 선적분에서 한번 간단하게 훑어보시고 오시는 것을 추천드립니다. 기본적으로 적분을 하..
