멱급수

수학/미적분학

미적분학 - 함수의 멱급수 표현

2022.05.14

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 멱급수에서는 멱급수(power series)와 수렴반경(radius of convergence)의 정의에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 어떤 함수를 멱급수의 형태로 표현하는 방법에 대해서 설명드리도록 하겠습니다. 일단, 함수를 멱급수로 표현한다는 의미부터 생각해보겠습니다. 예를 들어 $f(x) = \frac{1}{1 - x}$라는 함수를 생각해보도록 하겠습니다. 이 함수의 경우에는 다르게 표현할 수도 있습니다. 왜냐하면 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ 역시 기하급수의 성질에 의해서 $\left|x\right| < 1$에서는 $\frac{1}{1 - x}$로 표현될 수 있습니다. $$\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + \..

수학/미적분학

미적분학 - 멱급수

2022.05.13

안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 무한급수의 수렴성 검사 3에서는 비판정법(ratio test)와 근판정법(root test)에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 멱급수(power series)에 대해서 간단하게 알아보도록 하겠습니다.   정의1. 멱급수(power series)$\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + \cdots$의 형태를 가진 무한급수를 멱급수라고 한다.   설명멱급수의 가장 간단한 예시는 모든 $n$에 대해서 $c_{n} = 1$일 때 입니다. 그러면 저희는 아래의 식을 얻을 수 있죠. 

$$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots$$  이는 기하급수입니..