기초통계학[31].귀무가설의 유의성 검정 4

안녕하세요. 지난 포스팅의 기초통계학[32].귀무가설의 유의성 검정 3에서는 NHST를 설계하는 방법과 임계치, $p$ 값라는 개념에 대해서 설명하였습니다. 여기서 NHST를 설계하는 과정에서 검정 통계량이라는 것을 미리 정한다고 하였습니다. 이때 검정 통계량에 따라서 불리는 이름이 각각 $t$ 검정, $z$ 검정 이라고 하였습니다. 만약 검정 통계량을 표본의 합으로 정의한 다면 $t$ 검정이라고 하고, 표본 평균으로 정의한다면 $z$ 검정이라고 하였습니다. 오늘은 $z$ 검정에 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다.

 

사실 지난 포스팅의 마지막 즈음에 $z$ 검정을 활용하여 NHST를 설계하고 귀무가설 $H_{0}$를 기각하는 과정을 학습하였습니다. 그러므로 $z$ 검정은 간단하게 복습과 예제를 통해서 알아보도록 하겠습니다.

 

• 데이터 : $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \sim {N(\mu, \sigma^{2})}$. 이때, $\mu$는 모르는 모수이고, $\sigma$는 알고있는 모수이다.
• 귀무가설 $H_{0}$ : 특정 값 $\mu_{0}$에 대해서 $\mu = \mu_{0}$이다.
• 검정 통계량 : $z = \frac{\bar{x} - \mu_{0}}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$으로 이는 표준화된 평균과 동일하다.
• 귀무분포 : $f(z|H_{0})$는 확률 밀도함수 $z \sim {N(0, 1)}$입니다.
• 오른쪽 꼬리로 정의된 $p$ 값 : $p = P(Z > z | H_{0})$
• 왼쪽 꼬리로 정의된 $p$ 값 : $p = P(Z < z | H_{0})$
• 양쪽 꼬리로 정의된 $p$ 값 : $p = P(|Z| < z | H_{0})$

예제1. 어떤 정수 데이터셋이 알려지지않은 평균 $\mu$에 알려진 표준편차 $\sigma = 4$를 따른다고 가정하고, 귀무가설 $H_{0}$를 $\mu = 0$이라고 하고 대립가설 $H_{A}$를 $\mu > 0$이라고 가정하겠습니다. 그리고 여러분들이 데이터를 얻었는 데, 그 데이터들은 $1, 2, 3, 6, -1$ 이라고 합니다. 이때, 유의 수준 $\alpha = 0.05$일 때 귀무가설을 기각할 수 있을 까요?

 

저희는 평균을 활용해야하므로 이는 $z$ 검정임을 알 수가 있습니다. 이를 위해서 먼저, 표본의 평균부터 계산합니다. $\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 6 + (-1)}{5} = 2.2$가 됩니다. 여기서 검정 통계량을 얻을 수 있습니다. $\frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{2.2 - 0}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = 2.460$입니다. 

 

이때, 저희의 대립가설이 오른쪽 꼬리로 정의되었습니다. 따라서, $p$ 값은 아래와 같이 얻을 수 있습니다.

 

$$p = P(Z > z) = P(Z > 2.460) = 0.007$$

 

이 계산이 가능한 이유는 $Z \sim {N(0, 1)}$이기 때문입니다. 그러므로 표준 정규분포표를 참조하면 쉽게 값을 얻을 수 있습니다. 이때, $p = 0.007 < 0.05 = \alpha$이므로 귀무가설을 기각하고 대립가설을 선택합니다. 즉 $\mu > 0$인 가설을 선택한 것이라고 볼 수 있습니다. 이를 그림으로 그리면 아래와 같습니다.