디지털 영상 처리 - 선형 및 위치 불변 열화 함수

 안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 노이즈만 있을 때 복원하기(공간 필터링) : 적응 필터 구현에서는 영상의 작은 부분에 대한 특성을 고려한 "적응적, 지역적 노이즈 감쇠 필터"와 "적응적 중간값 필터"를 구현해보았습니다. 지금까지는 노이즈 $\eta(x, y)$ 및 $N(\mu, \nu)$에 대해서만 고려했지만 오늘부터는 열화 함수 $h(x, y)$ 및 $H(\mu, \nu)$까지 적용된 오염된 영상을 복원해보도록 하겠습니다. 그 전에 저희는 추정할 열화 함수에 대한 가정과 가정된 열화 함수 $H(\mu, \nu)$에 대한 성질도 확인해보도록 하겠습니다. 

 

저희는 영상 열화의 과정을 아래의 그림과 수식을 이용해서 표현하기로 약속하였습니다. 

 

$$g(x, y) = H\left[f(x, y)\right] + \eta(x, y)$$

 

 그리고 저희는 문제를 쉽게 하기 위해서 지금까지 열화함수 $H$가 항등함수라고 가정했던 것처럼 노이즈 $\eta(x, y) = 0$이라고 가정하겠습니다. 즉, 현재 저희는 부가 노이즈 없이 열화 함수에 의해서만 오염된 영상만 다룰 것입니다. 

 

 수학에는 함수 $f(x)$가 "선형(linear)"라는 표현이 존재합니다. 이를 만족하게 위해서는 $f(x)$가 아래의 성질을 만족해야합니다. 

 

$$f(ax + by) = af(x) + bf(y)$$

 

 이를 열화 함수 $H$에 적용하여 열화 함수가 선형이기 위해서는 아래의 성질을 만족해야합니다. 

 

$$H\left[af_{1}(x, y) + bf_{2}(x, y)\right] = aH\left[f_{1}(x, y)\right] + bH\left[f_{2}(x, y)\right]$$

 

 여기서 $f_{1}(x, y)$와 $f_{2}(x, y)$는 서로 다른 두 디지털 영상을 의미합니다. 그리고 $a, b$는 임의의 상수가 되죠. 선형이 "가산성(additivity)"와 "동차성(homogeneity)"를 모두 만족해야한다는 것이 있는 데 위 수식에서 $a = b = 1$이라고 했을 때 $H\left[f_{1}(x, y) + f_{2}(x, y)\right] = H\left[f_{1}(x, y)\right] + H\left[f_{2}(x, y)\right]$가 되면 이를 가산성이라고 하고 $f_{2}(x, y) = 0$이라고 했을 때 $H\left[af_{1}(x, y)\right] = aH\left[f_{1}(x, y)\right]$가 되면 이를 동치성이라고 표현합니다. 따라서 위의 수식은 가산성과 동치성을 동시에 만족해야한다고 적은 것에 지나지 않습니다. 또한 모든 $f(x, y)$와 $\alpha, \beta$에 대해서 $H\left[f(x - \alpha, y - \beta)\right] = g(x - \alpha, y - \beta)$를 만족하면 이러한 성질을 "위치 불변성(position invariant)" 또는 "공간 불변성(spatial invariant)"라고 표현합니다. 

 

 그리고 다시 2D 푸리에 변환을 정의했을 때로 돌아가보도록 하겠습니다. 이 과정에서 저희는 2D 임펄스 함수와 그 선별 특성을 활용하였습니다. 

 

$$\delta(t, z) = \begin{cases} \infty &\text{ for } t = z = 0 \\ 0 &\text{ Otherwise}\end{cases}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t, z) \delta(t, z) \; dtdz = f(0, 0)$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t, z) \delta(t - t_{0}, z - z_{0}) \; dtdz = f(t_{0}, z_{0})$$

 

 저희는 위의 수식에서 가장 아래의 일반화된 선별 특성을 활용해보도록 하겠습니다. 표기만 다르게 적으면 저희는 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$f(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha, \beta)\delta(x - \alpha, y - \beta) \; d\alpha d\beta$$

 

 잘 보시면 단순히 변수 이름만 바꾼것을 볼 수 있습니다. 한편 저희가 $\eta(x, y) = 0$이라고 가정했기 때문에 위의 선별 특성을 적용하여 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$g(x, y) = H\left[f(x, y)\right] = H\left[\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha, \beta) \delta(x - \alpha, y - \beta) \; d\alpha d\beta\right]$$

 

 여기서 저희는 가산성을 활용하여 식을 정리할 것입니다. 저희가 봤던 가산성은 덧셈에서만 정의된 것이지만 이를 적분에서도 동일하게 적용할 수 있습니다. 따라서 아래와 같이 정리되겠죠.

 

$$g(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} H\left[f(\alpha, \beta) \delta(x - \alpha, y - \beta)\right] \; d\alpha d\beta$$

 

 또한 동차성까지 활용하면 $H$는 $(x, y)$에 대한 변환이기 때문에 $f(\alpha, \beta)$는 $H$ 입장에서는 상수가 됩니다. 따라서 저희는 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$g(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha, \beta)H\left[\delta(x - \alpha, y - \beta)\right] \; d\alpha d\beta$$

 

 이제 $h(x, \alpha, y, \beta) = H\left[delta(x - \alpha, y - \beta)\right]$라고 했을 때 저희는 $h(x, \alpha, y, \beta)$를 "$H$의 임펄스 응답(impulse response)"라고 정의하도록 하겠습니다. 그리고 일반적으로 $h(x, \alpha, y, \beta)$는 "점 확산 함수(PSF, Point Spread Function)"이라고 부른다고 합니다. 정의한 식을 대입하면 저희는 최종적으로 아래의 식을 유도해낼 수 있습니다. 

 

$$g(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha, \beta)h(x, \alpha, y, \beta) \; d\alpha d\beta$$

 

 저희는 이 식을 "제 1종 중첩 원리(The Superposition integral of the first kind)"라고 부릅니다. 만약에 저희가 임펄스에 대한 $H$의 응답을 알 수 있다면 임의의 입력 $f(\alpha, \beta)$에 대한 응답은 위의 식을 통해 알 수 있다는 것입니다. 그런데 저희가 처음에 $H$가 위치 불변성을 갖는다고 가정했기 때문에 $h(x - \alpha, y - \beta) = H\left[\delta(x - \alpha, y - \beta)\right]$로 쓸 수 있습니다. 따라서 아래의 수식으로 다시 바뀌에 되겠죠.

 

$$g(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha, \beta)h(x - \alpha, y - \beta) \; d\alpha d\beta$$

 

 와우! 정말 멀리멀리 돌아서 온거 같습니다. 그런데 이 식... 어디서 많이 본 거 같지 않나요? 아마도 다들 예상하셨겠지만 위 식은 2D 컨볼루션 연산입니다. 즉, 부가 노이즈 $\eta(x, y) = 0$, 열화 함수 $H$가 가산성과 동치성을 만족하는 선형 변환이고 위치 불변성을 만족하는 변환이라면 오염된 영상 $g(x, y)$은 입력 영상 $f(x, y)$와 $H$의 임펄스 응답과의 2D 컨볼루션을 통해서 얻어진다는 것입니다. 여기에 만약 부가 노이즈가 존재한다고 가정하면 아래와 같이 쓰게 됩니다. 

 

$$g(x, y) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha, \beta)h(x - \alpha, y - \beta) \; d\alpha d\beta + \eta(x, y) = h(x, y) * f(x, y) + \eta(x, y)$$

 

 여기서 부가 노이즈 $\eta(x, y)$의 값들은 무작위이고 위치에 대한 상관성이 없다고 가정하겠습니다. 한편, 2D 컨볼루션 정리에 의해 저희는 주파수 공간에서 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

 

$$G(\mu, \nu) = H(\mu, \nu)F(\mu, \nu) + N(\mu, \nu)$$