안녕하세요. 지난 포스티의 미적분학 - 유향곡면에서는 곡면에서의 면적분을 설명한 뒤 이를 벡터장으로 확장해보았습니다. 이 과정에서 필수적으로 곡면의 방향성이 존재해야하며 주어진 곡면을 통과하는 벡터장의 유량 (flux)를 계산할 수 있었습니다. 오늘은 그린 정리 (Green's Theorem)의 일반화된 버전인 스토크스의 정리 (Stokes' Theorem)에 대해서 알아보겠습니다. 정리1. 스토크스의 정리(Stokes' Theorem) 곡면 $S$를 조각끼리 부드럽고 양의 방향성이 존재하는 유계 단순연결곡선 $C$에 의해 제한이 생기는 조각끼리 부드러운 유향곡면이라고 하자. 벡터함수 $\mathbf{F}$를 각 성분함수가 3차원 실수공간 $\mathbf{R}^{3}$에서 유향곡면 $S$를 포함하는 영역..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 선적분에서는 기존에 저희가 보았던 축이나 평면을 기준으로하는 적분이 아닌 매개변수 곡선 상에서의 적분인 선적분에 대해서 알아보았습니다. 오늘은 보다 이론적인 내용으로 선적분을 미적분학 기본정리와 연결지어보도록 하겠습니다. 일단, 선적분을 다시 복습해보면 함수 $f(x, y)$의 변수들이 각각 매개변수 $a \le t \le b$에 대한 함수 $x = x(t)$와 $y = y(t)$로 정의된다고 가정할 때 곡선 $C$에서 아래와 같이 적분할 수 있습니다. $$\int_{C} f(x, y) \; ds = \int_{a}^{b} f(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \left(\frac{dy}{dt}\right)^..
안녕하세요. 지난 포스팅의 미적분학 - 벡터장에서는 2차원과 3차원에서의 벡터함수로 표현되는 벡터장(Vector Field)에 대한 설명을 해보았습니다. 그리고 몇 가지 함수들에 대한 벡터장을 실제로 그려보았죠. 지금까지 저희는 적분을 할 때 고정된 $x$축 또는 $xy$ 평면에 대해서 수행해왔습니다. 좀 더 일반적으로 생각해보았을 때 어떤 임의의 곡선 $C$ 위에서 적분을 수행할 수도 있지 않을까요? 오늘은 선적분(Line integral)에 대해서 알아보도록 하죠. 일단, 위 그림과 같이 곡선 $C$가 정의되었다고 가정하겠습니다. 이 곡선은 $a \le t \le b$을 $n$등분하여 $n$개의 등구간을 만든 뒤 각 구간에서 표본점 $t_{i}^{*}$을 선택하여 곡선 $C$ 상의 점 $P_{i}$로..
