디지털 영상 처리 - 주파수 도메인 필터를 이용한 영상 스무딩

 안녕하세요. 지난 포스팅의 디지털 영상 처리 - 주파수 공간 필터링 기초에서는 주파수 공간 필터링의 기본적인 원리와 과정을 알아보았습니다. 오늘은 중앙 영역, 즉 저주파 영역을 통과시키는 저역통과 필터링을 알아보도록 하겠습니다. 저역통과 필터링은 마스크의 모습에 따라서 크게 3가지로 나뉘게 됩니다. 각각 이상적(ideal), Butterworth, 그리고 가우시안 필터입니다.

 

 기본적으로 이상적 필터는 불연속적인 필터링으로 특정 주파수를 아예 0으로 만들어버립니다. 따라서 저희가 정확하게 원하는 주파수 구간만 얻을 수 있기 때문에 "이상적"이라는 말이 붙었습니다. 하지만 지난 포스팅에서도 말씀드렸다싶이 주파수 공간에서의 불연속 지점은 역푸리에 변환에서 무한히 진동하는 물결파동 현상을 발생시키기 때문에 단점이 존재합니다. 이를 보완하고자 상대적으로 부드러운 필터인 Butterworth와 가우시안 필터를 쓰기도 합니다. 

 

 1. 이상적 저역통과 필터(Ideal Low Pass Filter; ILPF)

 이상적 저역통과 필터는 위의 그림과 같이 중앙을 기준으로 특정 반지름 $D_{0}$ 안에 있으면 1, 아니면 0으로 만들어주는 필터입니다. 이를 수식으로 정의하면 아래와 같습니다. 지금까지 저희가 $H(\mu, \nu)$를 필터 함수로 썻던 것을 기억하실겁니다.

 

$$H(\mu, \nu) = \begin{cases} 1 &D(\mu, \nu) \le D_{0} \\ 0 &D(\mu, \nu) > D_{0} \end{cases}$$

 

 이때, $D(\mu, \nu)$는 주파수 도메인의 점 $(\mu, \nu)$와 주파수 직사각형의 중심 $(\frac{P}{2}, \frac{Q}{2})$간의 거리로써 $D(\mu, \nu) = \left[(\mu - \frac{P}{2})^{2} + (\nu - \frac{Q}{2})^{2}\right]$으로 정의됩니다. 그리고 $D_{0}$는 양의 상수로 사용자가 통과시키고자하는 주파수 영역을 미리 정의해주는 파라미터입니다. 여기서 중요한 점은 $P \times Q$는 패딩된 영상의 크기입니다. 원래 영상의 크기는 $M \times N$입니다. 그리고 $D_{0}$ 지점에서 $H(\mu, \nu) = 1$이 $H(\mu, \nu) = 0$으로 천이됩니다. 이 지점을 차단 주파수(cutoff frequency)라고도 합니다. 

 

 보통 주파수 공간에서 필터링을 수행할 때 얼마나 차단됬는 지를 계산하고 싶다면 전력 스펙트럼(power spectrum)을 계산하여 보여주기도 합니다. $P_{T}$는 $\mu = 0, 1, 2, \dots, P - 1$과 $\nu = 0, 1, 2, \dots, Q - 1$에 대해 각 점 $(\mu, \nu)$에서 패딩된 영상의 전력 스펙트럼의 성분을 합산하여 얻을 수 있습니다. 

 

$$P_{T} = \sum_{\mu = 0}^{P - 1} \sum_{\nu = 0}^{Q - 1} P(\mu, \nu)$$

 

 여기서 $P(\mu, \nu)$는 지난번에 계산했던 전력 스펙트럼으로 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$$P(\mu, \nu) = |F(\mu, \nu)|^{2} = R^{2}(\mu, \nu) + I^{2}(\mu. \nu)$$

 

 DFT가 중심이동이 이미 되었다고 가정하면 주파수 직각사각형 중심에 원점을 가진 반지름 $D_{0}$인 원인 전력의 $\alpha$%를 포함합니다. 

 

$$\alpha = 100\left[\sum_{\mu = 0}^{P - 1} \sum_{\nu = 0}^{Q - 1} P_{D_{0}}(\mu, \nu) / P_{T}\right]$$

 

 여기서 $P_{D_{0}}(\mu, \nu)$는 ILPF에 의해 필터링된 주파수 영상으로 $D_{0}$ 외부 영역은 전부 0입니다. 즉, $\alpha$란 전체 전력과 필터링된 주파수 공간의 전력의 비라고 볼 수 있습니다. 

 

 위 그림은 ILPF를 적용할 때 $D_{0}$를 10, 30, 60, 160, 460으로 정했을 때 그 결과를 보여주고 있습니다. 또한 ILPF의 불연속적인 필터링으로 인한 물결파동 현상이 디지털 영상에서는 어떻게 보여지는 지도 보여주고 있습니다. (a)는 입력 영상입니다. (b)~(f)의 차단된 전력 스펙트럼은 각각 13.1%, 7.2%, 4.9%, 2.4%, 0.6%입니다. 차단된 전력 스펙트럼이 적을 수록 입력 영상 (a)와 큰 차이가 나지 않은 것을 볼 수 있습니다. 

 

 또한 전력 스펙트럼의 차단율이 높을수록 일전에 언급한 물결파동 현상이 심한 것을 볼 수 있습니다. 이에 반해 차단율이 낮으면 물결파동 현상이 거의 보이지 않죠. 이는 상대적으로 고주파 영역에서 차단하더하면 비교적 저주파 영역에서 마스킹하는 것보다 불연속 정도가 덜 하다는 것으로 해석할 수 있습니다. 

 

2. Butterworth 저역 통과 필터(Butterworth Low Pass Filter; BLPF)

$$H(\mu, \nu) = \frac{1}{1 + \left[D(\mu, \nu)/D_{0}\right]^{2n}}$$ 

 

BLPF는 ILPF와 비교했을 때 $n$의 차수에 따라서 훨씬 부드러운 결과를 얻을 수 있습니다. 일반적으로 BLPF와 같이 불연속점을 갖지 않는 부드러운 필터에서는 $D_{0}$를 $H(\mu, \nu)$이 최댓값의 어떤 비율 아래로 내려가는 점들로 정의합니다. 그리고 그 비율은 보통 50%로 정하죠.

 ILPF를 적용한 결과와 비교해보면 물결파동 현상을 볼 수 없습니다. 하지만, BLPF에서도 물결파동 현상이 발생하는 경우가 있는 데 바로 $n$이 높을 수록 두드러지게 나타납니다. BLPF의 $n$에 따라서 그림을 보면 $n$이 커질수록 점점 ILPF와 유사해지는 것을 볼 수 있습니다. 따라서 $n$이 커질수록 물결파동 현상이 나타나는 것은 당연할 결과입니다. 

 

3. 가우시안 저역통과 필터(Gasussain Low Pass Filter; GLPF)

$$H(\mu, \nu) = e^{-D^{2}(\mu, \nu)/2\sigma^{2}}$$

 

 GLPF에서 ILPF나 BLPF와 다른 점은 $D_{0}$가 파라미터로 들어가있지 않습니다. GLPF에서는 보통 $\sigma = D_{0}$로 놓음으로써 다른 필터들과 유사하게 표현할 수 있습니다. 그리고 GLPF는 앞서 설명한 모든 필터들보다 훨씬 부드러운 필터을 보유하고 있기 때문에 아래 그림과 같이 물결파동 현상이 발생하지 않습니다. 또한 BLPF와도 비교해보았을 때 상대적으로 조금 더 부드러운 스무딩 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

4. 저역통과 필터 함수 $H(\mu, \nu)$ 요약 

 

5. 저역통과 필터링의 활용

 저역통과 필터링은 기본적으로 스무딩 결과를 얻을 수 있습니다. 스무딩은 아래와 같이 영상에서 끊겨있는 지점을 이어주거나 주름 개선, 노이즈 제거 등에도 쓰일 수 있습니다. 

참고자료

[1]. digital image processing 4th edition rafael c. gonzalez