기초통계학[1].경우의 수와 집합

안녕하세요. 오늘은 저번 기초통계학[0].소개(https://everyday-image-processing.tistory.com/5)에 이어서 확률에서 가장 기본 베이스로 숙지해야할 경우의 수와 집합에 대해서 포스팅하도록 하겠습니다. 만약, 관련 내용을 알고 계시다면 굳이 안보셔도 됩니다.

 

크게 3가지에 대해서 학습하고 끝내도록 하겠습니다.

- 집합의 정의와 기호, 그리고 집합의 연산인 합집합, 교집합, 여집합의 정의와 기호

- Venn Diagram을 이용하여 집합 연산의 시각화

- 곱셈 법칙, inclusion-exclusion principle, 순열과 조합

1. 경우의 수

Ex1. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일한 공정한 동전이 있다고 가정하겠습니다. 동전을 3번 던졌을 때, 정확히 앞면이 1번만 나올 확률은 얼마일까요?

 

사실 이미 경우의 수의 개념을 알고 계신분들은 바로 구할 수 있으시겠지만, 모르시는 분들을 위해서 설명하겠습니다. 먼저,어떤 사건의 확률을 알기 위해서는 실험을 통해 얻을 수 있는 모든 경우의 수, 즉 나올 수 있는 사건을 전부 조사해야합니다. 위의 예시의 경우에는 $$\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$$로 총 8가지의 경우의 수가 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

문제의 조건에서 모든 경우의 수 중에서 앞면이 정확히 한번 만 나올 사건은 $$\{HTT, THT, TTH\}$$ 3가지의의 경우의 수가 나오므로 8가지의 가능성 중 3가지의 가능성, 즉 3/8이 답이 됩니다.
$$P(1\ head\ in\ 3\ flips) = \frac{number\ of\ outcomes\ with\ 1\ head}{total\ number\ of\ outcomes} = \frac{3}{8}$$

2. 집합과 그 기호

2.1.1. 정의

 

집합(set) $S$는 원소들의 모임입니다. 아래는 집합과 관련된 각종 기호 및 용어이니 꼭 숙지하시길 바랍니다.

 

- 원소(Element) : $x \in S$은 원소 x가 집합 S의 원소가 된다는 의미입니다.

- 부분집합(Subset) : 집합 $A$의 원소들이 전부 집합 $S$의 원소가 된다면 $A$는 $S$의 부분집합이라고 합니다. $A \subset S$

- 여집합(Complement) : 집합 $S$의 부분집합 $A$의 여집합은 $S$의 원소이지만 $A$는 아닌 원소들입니다. $A^{c}$ 또는 $S-A$

- 합집합(Union) : 집합 $A$와 집합 $B$의 합집합은 $A$의 원소이거나(or) $B$의 원소입니다. $A \cup B$

- 교집합(Intersection) : 집합 $A$와 집합 $B$의 교집합은 $A$의 원소이고(and) $B$의 원소입니다. $A \cap B$ 

- 공집합(Empty set) : 원소가 전혀 없는 집합입니다. $∅$

- Disjoint : 집합 $A$와 집합 $B$가 서로 공통되는 원소를 갖지 않는 경우입니다. 즉, $A \cap B = ∅$

- 차집합(Difference) : 집합 $A$와 집합 $B$의 차집합은 $A$의 원소이지만, $B$의 원소는 아닌 원소들의 집합입니다. $A-B$

 

Ex2. 10가지의 동물과 곤충이 있다고 가정하겠습니다.
$$S = \{영양, 벌, 고양이, 개, 코끼리, 개구리, 모기, 이구아나, 재규어, 하이에나\}$$
위의 집합에서 2개의 부분집합을 정하겠습니다.

- $M$ = 포유류인 동물 = $\{영양, 고양이, 개, 코끼리, 하이에나, 재규어\}$

- $W$ = 야생에서 사는 동물 = $\{영양, 벌, 코끼리, 개구리, 모기, 하이에나, 아구아나, 재규어\}$

(물론, 고양이나 개도 야생에서 사는 경우도 있겠지만, 여기서는 집고양이나 집강아지만 생각하겠습니다.)

 

- $M \cap W = \{영양, 코끼리, 하이에나, 재규어\}$

- $M \cup W = \{영양, 고양이, 개, 벌, 코끼리, 개구리, 하이에나, 모기, 이구아나, 재규어\}$

- $M^{c} = \{벌, 개구리, 모기, 이구아나\}$

- $M-W = \{고양이, 개\}$

 

여기서 몇 가지 규칙을 발견할 수 있습니다.

- $M^{c} = S - M$

- $M - W = M \cap W^{c}$

 

그 다음으로 집합론에 있어 중요한 법칙인 DeMorgan's Laws입니다.

- $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$

- $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

2.1.2 Venn Diagram

Venn Diagram은 집합과 집합의 연산을 간단하게 시각화할 수 있는 강력한 도구입니다.

또한, Venn Diagram을 이용해서 이전의 DeMorgan's Law를 증명할 수 있습니다.

2.1.3. 집합곱(Product of Set)

집합곱은 두 집합 사이의 연산으로 집합 $S$와 집합 $T$에 대해서

 로 정의 됩니다. 아래의 그림을 통해서 확인해보면 두 집합을 통해 2차원 평면을 구성하는 것을 볼 수 있습니다.

2.2. 집합의 크기

만약 집합 $S$가 유한 집합(원소의 개수가 유한한 집합)이라면, 집합 $S$의 크기는 원소의 개수로 정의되며, $|S|$로 표기합니다.

2.2.1. inclusion-exclusion principle

inclusion-exclusion principle은 집합 $A$와 집합 $B$의 합집합의 원소의 개수를 중복없이 세는 방법으로  $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Venn Diagram을 통해서 확인해보면 단순히 $|A \cup B| = |A| + |B|$을 수행하면 $|A \cap B|$가 2번 더해지는 것을 볼 수 있습니다. 따라서, $|A \cap B|$를 한번 빼주는 것이죠.

2.2.2. 곱셈 법칙

곱셈 법칙(Rule of Product)는 2가지의 독립되는 행동이 있을 때, A라는 행동은 m개의 경우의 수가 있고, B라는 행동은 n개의 경우의 수가 있을 때, A 행동을 한 뒤, B 행동을 수행하는 경우의 수는 mn개라는 것입니다.
예를 들어, 각기 다른 바지가 3벌, 상의가 4벌 있을 때, 저희는 12가지의 조합으로 옷을 입을 수 있습니다.

2.3. 순열과 조합

2.3.1. 순열(permutation)

 

순열은 원소의 순서를 고려하여 얻어지는 집합입니다. 예를 들어 ${A, B, C}$라는 원소를 가지는 집합이 있을 때, 이 집합에서 3개의 원소를 선택하는 순열은 $\{ABC, ABC, BAC, BCA, CAB, CBA\}$로 총 6가지의 경우의 수가 존재합니다. 이를 공식화하면 3!=3_2_1=6이 되는 것이죠.
이를 일반화하면 n개의 원소를 가지는 집합에서 r개의 원소를 선택하는 순열은 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$입니다.
그렇다면, $\{A, B, C, D\}$에서 3개의 원소를 뽑는 순열은 $P(4, 3) = \frac{4!}{(4-3)!} = 24$개가 되는 것이죠.
순열에 있어서 가장 중요한 점은 원소를 나열하는 순서라는 것입니다. 즉 ABC는 CBA와 나열된 순서가 다르기때문에 서로 다른 것으로 보는 것입니다.

 

2.3.2. 조합(conbination)

 

조합은 순열과 다르게 원소의 순서를 고려하지 않고 얻어지는 집합입니다. 예를 들어 $\{A, B, C\}$라는 원소를 가지는 집합이 있을 때, 이 집합에서 3개의 원소를 선택하는 조합은 $\{ABC\}$로 단 1개밖에 없습니다. 조합에서는 순서가 다른 나열 ABC와 CBA를 같은 것으로 보기 때문이죠.
이를 일반화하면 n개의 원소를 가지는 집합에서 r개의 원소를 선택하는 조합은 $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$입니다.
그렇다면 $\{A, B, C, D\}$에서 3개의 원소를 뽑는 조합은 $C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$개가 되는 것이죠.

 

기초통계학[2].확률 기초(https://everyday-image-processing.tistory.com/7)