지금까지는 베이지안과 빈도주의 관점에서 통계에 대한 기본적인 내용을 알아보았습니다. 핵심은 어떤 데이터셋 $\mathcal{D}$가 주어졌을 때 어떻게 모델 파라미터 $\theta$의 값을 추정하고 이에 대한 불확실성을 얻는 지가 핵심이였습니다. 특히, 앞으로 저희가 관심있게 볼 베이지안 관점에서는 모델 파라미터의 사후 확률분포 $p(\theta \mid \mathcal{D})$를 이용해 바로 불확실성을 얻을 수 있었죠. 그리고 새로운 데이터가 입력되었을 때 그에 대응되는 추론 결과를 예측하는 사후 예측분포를 만들거나 사후 모드를 얻는 방법도 설명하였습니다.
하지만, 실질적으로 어떤 결정을 해야하는 지는 이야기를 하지 않았습니다!! 베이지안 추론은 관측된 데이터 $\mathbf{X} = x$가 주어졌을 때 숨겨진 변수 $H$에 대한 믿음을 사후 확률분포 $p(H \mid x)$로 최적으로 업데이트를 수행합니다. 그러나 실제 세계에서는 이러한 믿음을 행동으로 옮겨야합니다. 어떤 행동을 선택하는 게 가장 좋을까요? 이 질문에 답하는 툴이 바로 베이지안 결정이론(Bayesian Decision Theory)입니다.
예시와 함께 기본적인 개념을 함께 설명하도록 하겠습니다.
- 의사결정자는 취할 수 있는 행동 $a$을 행동집합 $\mathcal{A}$에서 선택해야만 합니다. 즉, $a \in \mathcal{A}$이죠. 예를 들어, 의사가 COVID19 의심 환자에게 "아무런 조치도 하지 않는 행동" 또는 "부작용이 있지만 생명을 구할 수 있는 고가의 약 투여" 중 선택할 수 있습니다.
- 실제 자연 상태 $h \in \mathcal{H}$에서 행동 $a$를 했을 때 발생되는 비용 또는 손실 $l(h, a)$가 있습니다. COVID19에서는 자연 상태는 환자 연령(젊음 및 고령) 그리고 질병 여부(감염 및 비감염)이 있을 수 있으며 환자 연령은 관측가능하지만 질병 여부는 검사 결과로 추론해야합니다.
- 여기서 손실함수로 사용할 수 있는 것은 Quality‑Adjusted Life Year(QALY)입니다. 이는 삶의 질과 수명을 동시에 고려하여 의료 개입의 효과를 평가하는 지표입니다. 젊은 환자가 감염됐는데 약을 투여하지 않으면 기대수명 60 QALY 손실이 발생, 약 투여 자체의 부작용 비용은 8 QALY, 고령 환자는 기대수명이 10 QALY라 손실이 상대적으로 작다고 가정하겠습니다. 표 5.1은 이를 요약한 것 입니다.
- 이제 행동별 위험(기대 손실)을 다음과 같이 계산합니다. 이는 관측치 $x$가 주어졌을 때 행동 $a$를 수행할 때 나오는 평균 손실을 의미합니다.
$$\rho(a \mid x) = \mathbb{E}_{p(h \mid x)} \left[ l(h, a) \right] = \sum_{h \in \mathcal{H}} l(h, a) p(h \mid x)$$
- 다음 단계는 최적의 정책을 수행하기 위해 다음과 같이 베이즈 결정 규칙을 따르면 됩니다. 즉, 손실이 가장 작은 행동을 고르는 것 입니다.
$$\pi^{*}(x) = \text{argmin}_{a \in \mathcal{A}} \mathbb{E}_{p(h \mid x)} \left[ l(h, a) \right]$$
- 만약에 이를 효율성 관점에서 해석한다면 효율성을 최대화하는 방식으로 최적화할 수 있죠. $U(h, a) = -l(h, a)$라고 정의한다면 다음과 같은 효율성이 최대화되는 행동을 고를 수 있습니다.
$$\pi^{*}(x) = \text{argmax}_{a \in \mathcal{A}} \mathbb{E}_{p(h \mid x)} \left[ U(h, a) \right]$$
이제 다시 COVID19 예시로 돌아가보도록 하겠습니다. 베이즈 추론으로 질병 확률을 계산한다고 가정하겠습니다.
표 5.2는 각 상태에 따른 최적화된 행동을 표로 나타낸 결과입니다. 즉, 젊고 양성이라면 약을 투여하는 것이 좋고 그렇지 않다면 약을 투여하지 않는 것이 이득이라는 것이죠. 다만, 약값을 5 QALY로 낮춘다면 양성인 모든 환자에게 투여가 최적의 행동임을 알 수 있습니다. 이처럼 확률적 불확실성과 행동의 비용·혜택을 정량화해 합리적인 결정을 내리는 것이 베이지안 결정이론의 핵심입니다.
